Вопрос Понятие функции нескольких переменных. Область определения фии двух переменных (примеры).
Определение: Переменная z, zÎZ, называется фии независимых переменных x y в множестве M если каждой паре (x y) их значений из N – по некоторому правилу или закону – ставится в соответствие одно определенное значение z (из Z).
Пример: Пусть k – объем затраченного капитала, l – объем затраченного труда, Q(k,l) – соответствующий им объем выпуска – функция двух переменных.
Областью существования (или областью определения) функции z = f (x; y) называется совокупность всех тех точек плоскости хОу, в которых z принимает действительные значения.
Пример: 
Вопрос Линии уровня и график фии двух переменных (примеры).
Определение: линиями уровня ф-ии двух переменных называется множество точек на плоскости таких что во всех этих точках значение фии одно и тоже и равно некоторому числу С то есть линии уровня задаются уравнением f(x,y)=C
Пример: 
Линии уровня данной функции задаются уравнением 
. Линиями уровня являются окружности с центром в начале координат и радиусами 
. Например при С=3 окружность радиусом 1 или при С=1/3 окружность рад. 3.
(рис).
Вопрос Кривые безразличия потребления в экономике(пример).
Кривые безразличия потребления – линии уровня функции полезности. Пример: Q(k,l)=2k 
найти линии уровня данной функции. 
2k 
=С 
Если С=1 то 
Если С=2 то 
Для любого сочетания труда и капитала лежащих на линии уровня С=4 объем производства будет одинаков и равен 4-м единицам.
4 Вопрос Кривые безразличия
производства(пример).
Кривые безразличия производства – линии уровня производственной фии.
Если 9-С <0, С>9 то пустое множество.
Если 9-С=0, C=9 то 
Если 9-С>0, C<9 то окружность с центром (0;0) и радиусом 
.
5 Вопрос Понятие частных
производных первого и второго порядка(пример).
Частной производной по переменной х от функции z = f (x; y) называется предел 
Обозначение 
.
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f (x; y) по переменной у:
= 
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных (2- х, 3- х и больше) определяется как производная функции одной из этих переменных, при условии постоянства значений остальных независимых переменных.
Пример. Дана функция z =х2у3 + sin x - еу.
Решение. 1) Считая у постоянной находим производную по х 
= 2ху3 + cos x
2) Считая х постоянной находим производную по у 
= 3 y 2 x 2 – e y
Частные производн 
и 
называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) 
D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка и обозначаются так:
; 
;
; 
.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным называется смешанной частной производной. Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции z =х4– х2у3+у5+1 Решение.
1) 
= 4х3 – 4ху3; 
= - 6х2у2 + 5у4;
2) 
= 12х2 – 4у3; 
= - 12х2у + 20у3;
= -12ху2; 
= - 12ху2.
Получили, что 
= 
. Так получается всегда
