Вопрос Кривые безразличия потребления в экономике(пример).

Вопрос Понятие функции нескольких переменных. Область определения фии двух переменных (примеры).

Определение: Переменная z, zÎZ, называется фии независимых переменных x y в множестве M если каждой паре (x y) их значений из N – по некоторому правилу или закону – ставится в соответствие одно определенное значение z (из Z).

Пример: Пусть k – объем затраченного капитала, l – объем затраченного труда, Q(k,l) – соответствующий им объем выпуска – функция двух переменных.

Областью существования (или областью определения) функции z = f (x; y) называется совокупность всех тех точек плоскости хОу, в которых z принимает действительные значения.

Пример:

Вопрос Линии уровня и график фии двух переменных (примеры).

Определение: линиями уровня ф-ии двух переменных называется множество точек на плоскости таких что во всех этих точках значение фии одно и тоже и равно некоторому числу С то есть линии уровня задаются уравнением f(x,y)=C

Пример: Линии уровня данной функции задаются уравнением . Линиями уровня являются окружности с центром в начале координат и радиусами . Например при С=3 окружность радиусом 1 или при С=1/3 окружность рад. 3.

(рис).

Вопрос Кривые безразличия потребления в экономике(пример).

Кривые безразличия потребления – линии уровня функции полезности. Пример: Q(k,l)=2k найти линии уровня данной функции. 2k =С Если С=1 то

Если С=2 то

Для любого сочетания труда и капитала лежащих на линии уровня С=4 объем производства будет одинаков и равен 4-м единицам.

4 Вопрос Кривые безразличия

производства(пример).

Кривые безразличия производства – линии уровня производственной фии.

Если 9-С <0, С>9 то пустое множество.

Если 9-С=0, C=9 то

Если 9-С>0, C<9 то окружность с центром (0;0) и радиусом .

5 Вопрос Понятие частных

производных первого и второго порядка(пример).

Частной производной по переменной х от функции z = f (x; y) называется предел

Обозначение .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f (x; y) по переменной у:

=

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных (2- х, 3- х и больше) определяется как производная функции одной из этих переменных, при условии постоянства значений остальных независимых переменных.

Пример. Дана функция z =х²у³ + sin x - е^у.

Решение. 1) Считая у постоянной находим производную по х = 2ху³ + cos x

2) Считая х постоянной находим производную по у = 3 y ² x ² – e ^y

Частные производн и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка и обозначаются так:

; ;

; .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным называется смешанной частной производной. Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции z =х⁴– х²у³+у⁵+1 Решение.

1) = 4х³ – 4ху³; = - 6х²у² + 5у⁴;

2) = 12х² – 4у³; = - 12х²у + 20у³;

= -12ху²; = - 12ху².

Получили, что = . Так получается всегда