Обыкновенные дифференциальные уравнение.

61.Основные понятия теории дифференциальных уравнений:дифференциальное уравнение и его порядок,интегральнаякривая,частное и общее решение.

Дифференциа́льноеуравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

Определение особого решения

Функция φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрически это означает, что через каждую соответствующую точку (x₀,y₀) проходит более одной интегральной кривой с общей касательной.

62.Дифференциальные уравнения первого порядка:с разделяющимися переменными,однородные,линейные,Бернулли,в полных дифференциалах.

63.Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций.ОпределительВронского.Условия линейной зависимости и независимости системы функций.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b], если существуют постоянные α₁, α₂,..., α_n, не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) +... + α_ny_n(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b), (a;b], [a;b), на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других.

Очевидны следующие утверждения.

• Если среди функций y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_k(x) линейно зависимы, то при любых y_k_{+ 1}(x), y_k_{+ 2}(x),..., y_n(x) функции y₁(x), y₂(x),..., y_k(x), y_k_{+ 1}(x),..., y_n(x) также линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b].

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно независимы на [a;b], то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).

Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x),..., y_n(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) из C_n-1[a, b], а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x),..., y_n(x)) ≡ 0 на [a;b].

64.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.Структура общего решения.