Основные правила Дифференцирования.

 

1. (u ± v)/ = u/ ± v/;

2. (C·u)/ = C·u/ (C = const);

3. (u·v)/ = u/·v + u·v/;

4.

 

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

 

32.Понятие дифференцируемой функции.Критерийдифференцируемости.Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции.

Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и , тогда функция f(x) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё в точке существует производная

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,

где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

33.Дифференциал функции,его геометрический смысл.Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции.Свойства дифференциалов.

Пусть функция у=f(x) дифференцируема в т. х0,тогда её приращение в этой точке можно записать ввиде:

Первое слагаемое в правой части данного равенства линейное относительно называется главной частью приращения функции в т. х0.

Дифференциалом функции у=f(x) в т. х0 называют главную часть приращения этой функции в т.х0.

dy-дифференциал

В качестве dy аргумента можно выбрать любое число(функцию) не зависящую от Х. dx= , тогда dy функции: dy=

Свойства инвариантности(неизменчивости) формы 1-го дифференциала.

Пусть функция y=f(x) является дифференцируемой функцией,тогда её 1 дифференциал определяется по формуле: dy= ,как в случае,когда х является независимой переменной,так и в случае,когда х является зависимой переменной,т.е.функцией.

Х=

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Свойства дифференциалов

Выражение производной через дифференциалы:

где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.

Выражение дифференциала через производную:

Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3. дифференциал произведения

4. дифференциал дроби (дифференциал частного)

5. дифференциал сложной функции

где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.

34.Производные и дифференциалы высших порядков,ихсвойства.Механический смысл второй производной.

Пусть функция f(x) является дифференцируемой функцией и = имеет производную,тогда производная от первой производной газывается 2-ой производной функции f(x) и обозначается:

y``,f``(x), , ,то есть по определению 2-ая производная есть производная от 1-ой производной:f``(x)=(f`(x))`

Точно так же может быть определенн дифференциал 1-го порядка,т.е. Диф. 2-го порядка есть диф. От 1-го порядка:

Аналогично дифференциал n-ого порядка

Механический смысл первой производной

Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то производная S^/ (t) выражает значение скорости движения точки в момент времени t(мгновенную скорость). V(t)= S^/ (t).

Механический смысл второй производной.

Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то вторая производная S^{/ /} (t) выражает значение изменения скорости этого движения, т.е. значение ускорения будет составлять а(t)= S^{/ /} (t).