Пусть функция задана параметрическим уравнением:
y`x= 
= 
= 
2-ая производная параметрически заданной функции.
35.Основные теоремы дифференциального исчисления:Ферма,Ролля,Лагранжа,Коши.
Теорема Ферма
Пусть функция f (x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Тогда если в этой точке существует конечная производнаяf '(c),то
f '(c)=0.
36.Правила Лопиталя.
Предел отношения двух б.м. или двух б.б. функций при х->x0=пределу отношения производных этих функций при х->x0 при условии,что последний предел существует.
Докажем это утверждение при условии,чтоf(x),g(x).f`(x),g`(x)-непрерывные в т. х0,причем g`(x0) 
Поскольку f(x) и g(x) непрерывны в т. х0,то 
В силу непрерывности производных f`(x) и g`(x) в т. х0 будем иметь
Замечание!
Если предел также даёт неопределенность,то мы должны взять ещё одну производную и т.д.
37.Условия возрастания и убывания функции на промежутке.Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума .(Приложение и применение производной к исследованию поведения ф-ии)
1.Условия монотонности ф-ии,условия существования т.экстремума ф-ии.
Теорема 1: Пусть функция y=f(x)дифференцируема на [a,b],тогда:
1)f`(x)<0,x 
2)f`(x)>0,x 
то y=f(x) возрастающая на (
функция.
Доказательство: выберем 2 точки х1 и х2 на (a,b),a<x1<x2<b,тогда f(x)-дифференцируема на интервале (х1,х2) и непрерывна на отрезке [x1;x2],т.к. всякая дифференцируемая функция непрерывна таким образом выполнены все условия теоремы Логранжа и согласно этой теоремы найдется такая точка в (х1,х2) такая что f(x2)-f(x1)=f`(c)(x2-x1)
Если f`(c)>0,то f(x2)-f(x1)>0= 
f(x2)>f(x1) при x2>x1(опред.возраст.ф-ии)
Если f`(c)<0= f(x2)-f(x1)<0= f(x2)<f(x1) при х1<x2(опред.убыв.ф-ии)
Точка х0 называется точкой локального максимума(локального минимума)ф-ииy=f(x),если сущ. Такая окрестность т х0,чтодля всех точек из этой окрестности за исключением самой т. х0. Выполняется неравенство f(x)<f(x0)(f(x0)>f(x0))
Значение функции в точке локального максимума
Точка maxи min функции-точки экстремума.
Теорема 2:(необх.условия сущ. Т. экстремума)
Если т.х0 т.локального экстремума непрерывной ф-ииf(x),то в этой точке либо производная=0,либо производная не существует в этой точке.Обратное утверждение неверно.
Точки в кот. Производная =0 или не сущ. Называются критическими точками 1-го рода.
Теорема 3(Достаточные условия сущ. Т. экстремума)
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой дельта окрестности т.х0 и f`(x0)=0,тогда:
1)если f`(x)<0,x 
2)если f`(x)>0,x 
Замечание! Теорема остаётся справедливой и в случае,когда ф-ияf(x) не является дифференцируемой в т х0,а лишь непрерывна в этой точке.
