Способы задания.
1.Аналитический,т.е. функция задается формулой,указывающей какие математ. Действия нужно произвести над значением аргумента х,чтобы найти значение функции у. При аналитическом способе функция может быть задана:1)Явно,у=f(x).2)Неявно,F(x,e)=0(связаны уравнением).3)Параметрически,
х и у выражаются через параметр t.tпринадлежит Т,t-параметр.
2.Графическим,т.е. своим графиком.
3.Табличный,т.е. функция задаётся при помощи таблицы,содержащей конечную совокупность соответствующих друг другу значений х и у.
Пусть у=f(u),au=φ(x),тогда функция у=f(φ(x)) называется сложной функцией,причем х-независимый аргумент,аu-это промежуточный аргумент.
Опереция составления из двух функций сложной функции называется операцией суперпозиции или композиции этих функций.
Графики функций у=f(x) иy=f^-1(x)-симметричны относительно прямой у=х.
Основные элементарные функции
а) тригонометрические:
;
б) обратные тригонометрическим:
;
в) степенная: 
;
г) показательная: 
;
д) логарифмическая: 
.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций составляют класс элементарных функций.
Основные характеристики функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Пример:
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmax, выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmin, выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
21.Графики и свойства основных элементарных функций.Метод сдвига и деформации при построении графиков.
свойства основных элементарных функций по схеме:
область определения функции;
поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты
проверка на четность и нечетность;
область значений функции;
промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба
наклонные и горизонтальные асимптоты;
особые точки функций;
особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
22.Предел функций в точке,предел функций при х-›+-∞
Свойства функций имеющих предел.
,то 
и 
=>
А) 
= 
=А+-В
Б) 
расписываем на два предела.
В) 
выносим константу за знак предела.
Г) 
,В неравно 0 и расписываем также на 2 предела(предел в числители и предел в знаменателе)
Д) 
3)Пустьf(u)-элементарная функция,а функция 
имеет предел 
Тогда 1. 
2. 
если 
3. 
4. 
5. 
если 
23.Основные теоремы о функциях имеющих предел.
24.Бесконечно малые и бесконечно большие функции,их связь и свойства.Теорема о связи функции,её предела и бесконечно малой функции.
Теорема:Функцияf(x) при x->x0 имеете конечный предел равный числу А,тогда и только тогда,когдаf(x)=A+ α(х),где α(х)-б.м.ф. при x->x0
Доказательство:
=>Пусть 
=A,А-число,положим,что α(х)=f(x)-А и покажем,что α(х)-б.м.ф.
неравен 
(f(x)-A)= - А=А-А=0=>α(х)-б.м.ф. при 
<=Пусть f(x)=A+ α(х),α(х)-б.м.ф.при ,тогда покажем,что = (A+ α(х))= 
+ =А+0=А
Бесконечно малые функции
Функция f(x) называется бесконечно малой при х->а, где а может
быть числом или одной из величин ∞, +∞или –∞, если limf(x)=0)(x-> a)
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому
числу стремится аргумент х. При различных значенияха функция может
быть бесконечно малой или нет.
Свойства:1)α1(х),α2(х)-б.м.ф. при х-> 
=>α1(х)+-α2(х) и α1(х)*α2(х)-б.м.ф при х-> .2)α(х)-б.м.ф. при х-> ,а f(x)-ограниченная функция,тоf(x)*α(x)-б.м.ф.при х->
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Если β(х)-б.б.ф. при х-> ,то 
-б.м.ф,при х-> и наоборот,еслиα(х)-б.м.ф. при х-> ,то и α(х)неравное 0 при х неравное 
,то 
-б.б.ф.
Пример: 
= 
=0,т.к у= 
-б.б.ф. при 
(
=∞
25.Эквивалентные бесконечно малые функции.
sinα(x)~α(x)
arcsinα(x)~α(x)
tgα(x)~α(x)
arctgα(x)~α(x)
loga(1+α(x))~(logae)α(x)
ln(1+α(x))~α(x)
aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
(1+α(x))μ-1~μα(x)
1+α(x)n-1~α(x)n
1+α(x)-1~α(x)2
Теорема о замене б.м.ф. эквивалентной. Пусть α(х),α1(х), 
(х), 
-б.м.ф. при прих->
,причем α(х) 
α1(х)и(х-> 
) и (х) 
-,тогда справедливо равенство:
26.Математические неопределенности.Раскрытие математических неопределенностей.
При вычислении пределов вида: 
, 
Еслиf(x),g(x)являются б.м.ф. или б.б.ф. при х-> 
,то в результате вычисления данных пределов мы приходим к так называемым математическим неопределенностям: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Неопределенности типа 
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция 
имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя. (НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ)
Неопределенности типа
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.
Неопределенности типа 
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа. и
Свойства:
27.Замечательные пределы,ихпрменение при раскрытии мат. неопределенностей.
28.Непрерывность функции в точке.Классификация точек разрыва.Свойства непрерывных функций.
Односторонние пределы.
Число А называется пределом fy=f(x) слева(справа,приx->x0,если для любого Е>0 ceщ. 
такое что для любого х 
для lim слева,(х 
(х0,х0+ 
)-справа.Выполняется неравенство:
|f(x)|-A|<E при этом пишут.
(
(справа)
Пределы слева и справа называются односторонними пределами функции.
