Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.
Определение 8. Квадратичная форма 
называется:
положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора 
: 
;
отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора : 
;
неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : 
;
неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : 
;
знакопеременной, если существуют ненулевые векторы , 
: 
.
Определение 9. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.
Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому виду. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 4. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру 
(
, 
). Тогда:
является положительно определенной 
;
является отрицательно определенной 
;
является неположительно определенной 
;
является неотрицательно определенной 
;
является знакопеременной 
.
Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм (
), записанных в каноническом виде, их тип и сигнатуры.
| № | Квадратичная форма | Сигнатура | Тип формы |
| 
| Положительно определенная | |
| 
| Отрицательно определенная | |
| 
| Неположительно определенная | |
| 
| Неотрицательно определенная | |
| 
| Знакопеременная, невырожденная | |
| 
| Знакопеременная, вырожденная |
Теорема 5. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду
методом ортогональных преобразований (
собственные значения матрицы формы ). Тогда:
является положительно определенной при всех 
;
является отрицательно определенной при всех 
;
является неположительно определенной при всех 
;
является неотрицательно определенной при всех 
;
является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.
Критерий Сильвестра
Тип квадратичной формы можно определить, не приводя ее к каноническому виду. Следующий ниже критерий Сильвестра позволяет определить тип квадратичной формы по знакам угловых миноров ее матрицы.
Рассмотрим угловые миноры 
(
), являющиеся определителями подматриц 
матрицы 
квадратичной формы:
Теорема 6 (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы).Квадратичная форма 
является:
1) положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры 
матрицы 
положительны:
()
2) отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:
В заключение приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичных форм по двум основным критериям.
| Квадратичная форма | Обозна- чение | Оценка знакоопределенности формы | |
| по главным минорам матрицы квадратичной формы | по собственным значениям матрицы квадратичной формы | ||
| положительно определенная |
| если все угловые миноры матрицы положительны:
()
| если все собственные значения положительны |
| отрицательно определенная | 
| если все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:
| если все собственные значения отрицательны |
| неотрицательно определенная | 
| если все угловые миноры матрицы неотрицательны:  ()
| если все собственные значения неотрицательны |
| неположительно определенная | 
| если в угловых минорах матрицы чередуются знаки, причем:
| если все собственные значения неположительны |
| знакопеременная | среди собственных значений имеются как положительные, так и отрицательные |
Пример 6. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формыот двух переменных
, 
,
, 
.
Решение.
1) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
, 
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, квадратичная форма 
является положительно определенной.
2) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
, 
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус, то квадратичная форма 
является отрицательно определенной.
3) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
, 
.
Так как в этом случае второй угловой минор отрицателен, то согласно таблице квадратичная форма 
является знакопеременной.
4) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
, 
.
Так первый угловой минор положителен, а второй угловой минор равен нулю, то согласно таблице квадратичная форма 
является неотрицательно определенной.
Заметим, что в данном случае
.
Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную формуот трех переменных
.
Решение. Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры положительны:
, 
, 
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, то квадратичная форма является положительно определенной.
