Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 8. Квадратичная форма называется:

положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

знакопеременной, если существуют ненулевые векторы , : .

Определение 9. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 4. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру (, ). Тогда:

является положительно определенной ;

является отрицательно определенной ;

является неположительно определенной ;

является неотрицательно определенной ;

является знакопеременной .

Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм (), записанных в каноническом виде, их тип и сигнатуры.

 

№	Квадратичная форма	Сигнатура	Тип формы
			Положительно определенная
			Отрицательно определенная
			Неположительно определенная
			Неотрицательно определенная
			Знакопеременная, невырожденная
			Знакопеременная, вырожденная

 

Теорема 5. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду

методом ортогональных преобразований ( собственные значения матрицы формы ). Тогда:

является положительно определенной при всех ;

является отрицательно определенной при всех ;

является неположительно определенной при всех ;

является неотрицательно определенной при всех ;

является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.

 

Критерий Сильвестра

Тип квадратичной формы можно определить, не приводя ее к каноническому виду. Следующий ниже критерий Сильвестра позволяет определить тип квадратичной формы по знакам угловых миноров ее матрицы.

Рассмотрим угловые миноры (), являющиеся определителями подматриц матрицы квадратичной формы:

Теорема 6 (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы).Квадратичная форма является:

1) положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы положительны:

()

2) отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:

В заключение приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичных форм по двум основным критериям.

 

Квадратичная форма	Обозна- чение	Оценка знакоопределенности формы
по главным минорам матрицы квадратичной формы	по собственным значениям матрицы квадратичной формы
положительно определенная		если все угловые миноры матрицы положительны: ()	если все собственные значения положительны
отрицательно определенная		если все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:	если все собственные значения отрицательны
неотрицательно определенная		если все угловые миноры матрицы неотрицательны: ()	если все собственные значения неотрицательны
неположительно определенная		если в угловых минорах матрицы чередуются знаки, причем:	если все собственные значения неположительны
знакопеременная			среди собственных значений имеются как положительные, так и отрицательные

 

Пример 6. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формыот двух переменных

, ,

, .

Решение.

1) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, квадратичная форма является положительно определенной.

2) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус, то квадратичная форма является отрицательно определенной.

3) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Так как в этом случае второй угловой минор отрицателен, то согласно таблице квадратичная форма является знакопеременной.

4) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Так первый угловой минор положителен, а второй угловой минор равен нулю, то согласно таблице квадратичная форма является неотрицательно определенной.

Заметим, что в данном случае

.

Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную формуот трех переменных

.

Решение. Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры положительны:

, , .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, то квадратичная форма является положительно определенной.