Практикум. Квадратичные формы
В данном практикуме рассматриваются следующие задачи:
1) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов;
2 приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования;
3) исследование квадратичной формы на знакоопределенность при помощи критерия Сильвестра.
Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 9, 10 типового расчета.
Понятие квадратичной формы.
Преобразования квадратичных форм
Определение 1. Квадратичной формой 
от n переменных 
называется однородный многочлен второй степени
. (1)
Запись вида (1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).
Если в линейном пространстве 
выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе:
.
Если обозначить через 
(
, 
) матрицу 
-го порядка из коэффициентов 
, то квадратичную форму (1) можно записать в матричной форме
. (2)
Квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы.
Определение 2. Рангом квадратичной формы (2) называется ранг её матрицы 
. При этом пишут
.
Определение 3. Квадратичная форма (2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом 
. В противном случае (если 
) квадратичная форма (2) называется вырожденной.
Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (2) при линейной замене переменных. Пусть переменные заменяются на переменные 
по формулам
(3)
где 
некоторые числа.
Если обозначить 
, 
, то (3) можно переписать в матричной форме
. (4)
Определение 4. Преобразование (4) называется линейным преобразованием. Матрица 
называется матрицей линейного преобразования. При этом, если матрица является неособенной, то преобразование (4) называется неособенным линейным преобразованием.
Применим преобразование (4) к форме (2):
,
где обозначена матрица 
.
Итак, если к квадратичной форме (2) применить линейное преобразование (10.4), то получим квадратичную форму
(5)
Если рассматривать 
как координатные вектор-столбцы вектора в базисах 
соответственно, то матрица является матрицей перехода от базиса 
к базису 
(при этом преобразование (4) будет неособенным линейным преобразованием).
Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (4), которые приводят квадратичную форму (2) к квадратичной форме (5) с диагональной матрицей 
:
.
Определение 5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных
произведений разноименных переменных:
. (6)
При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализирующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.
Если (2) есть невырожденная квадратичная форма (
), то в результате неособенного линейного преобразования (4) матрица 
будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех 
: 
. Если же квадратичная форма (2) является вырожденной и имеет ранг 
, то диагонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица в этом базисе имеет следующий диагональный вид:
, , 
.
Для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6).
Пример 1. Задана квадратичная форма от трех переменных 
в стандартном базисе пространства 
:
.
Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода
.
Решение. Матрица 
квадратичной формы имеет вид
.
Тогда по формуле (5) определяем матрицу этой формы в новом базисе
.
В новом базисе переменных 
квадратичная форма имеет канонический вид
.
