К каноническому виду методом Лагранжа

Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа. Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.

Теорема 1 (теорема Лагранжа).Любую квадратичную форму (1):

при помощи неособенного линейного преобразования (4) можно привести к каноническому виду (6):

,

где .

Пример 2. Привести квадратичную форму

к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.

Решение. Выберем ведущей переменную (коэффициент ). Группируя слагаемые, содержащие , и выделяя по ней полный квадрат, получим

Сделаем замену переменных (введем новые переменные )

Выразив старые переменные через новые :

Составим матрицу из коэффициентов при переменных :

неособенного линейного преобразования , в результате которого исходная квадратичная форма примет канонический вид

Так как выделение полного квадрата проводилось однократно, то матрица неособенного линейного преобразования (4) совпадает с матрицей . Итак, искомая матрица неособенного линейного преобразования (4) имеет вид

.

Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид

, .

Убедимся в справедливости равенства (5):

Пример 3. Привести квадратичную форму

к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.

Решение. Выберем ведущей переменную (коэффициент ). Группируя слагаемые, содержащие , и выделяя по ней полный квадрат, получим

где обозначено

Сделаем замену переменных (введем новые переменные )

Выразив старые переменные через новые :

получим матрицу из коэффициентов при переменных :

неособенного линейного преобразования , в результате которого исходная квадратичная форма примет вид

К квадратичной форме применим метод выделения полного квадрата при ведущей переменной :

Сделаем снова замену переменной (введем новые переменные )

Выразив переменные через новые :

получим матрицу из коэффициентов при переменных

неособенного линейного преобразования , в результате которого квадратичная форма примет искомый канонический вид

Вычислим матрицу неособенного линейного преобразования (4). Учитывая равенства

, ,

получим, что матрица имеет вид

.

Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид

, .

Убедимся в справедливости равенства (5):

.