Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа. Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.
Теорема 1 (теорема Лагранжа).Любую квадратичную форму (1):
при помощи неособенного линейного преобразования (4) можно привести к каноническому виду (6):
,
где 
.
Пример 2. Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.
Решение. Выберем ведущей переменную 
(коэффициент 
). Группируя слагаемые, содержащие 
, и выделяя по ней полный квадрат, получим
Сделаем замену переменных (введем новые переменные 
)
Выразив старые переменные 
через новые :
Составим матрицу из коэффициентов при переменных 
:
неособенного линейного преобразования 
, в результате которого исходная квадратичная форма примет канонический вид
Так как выделение полного квадрата проводилось однократно, то матрица 
неособенного линейного преобразования (4) совпадает с матрицей 
. Итак, искомая матрица неособенного линейного преобразования (4) имеет вид
.
Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
, 
.
Убедимся в справедливости равенства (5):
Пример 3. Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.
Решение. Выберем ведущей переменную (коэффициент ). Группируя слагаемые, содержащие , и выделяя по ней полный квадрат, получим
где обозначено 
Сделаем замену переменных (введем новые переменные 
)
Выразив старые переменные 
через новые :
получим матрицу из коэффициентов при переменных :
неособенного линейного преобразования 
, в результате которого исходная квадратичная форма примет вид
К квадратичной форме 
применим метод выделения полного квадрата при ведущей переменной 
:
Сделаем снова замену переменной (введем новые переменные 
)
Выразив переменные через новые :
получим матрицу из коэффициентов при переменных
неособенного линейного преобразования 
, в результате которого квадратичная форма примет искомый канонический вид
Вычислим матрицу неособенного линейного преобразования (4). Учитывая равенства
, ,
получим, что матрица имеет вид
.
Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
, 
.
Убедимся в справедливости равенства (5):
.
