Практические занятия по геометрии 3 страница

Домашнее задание

1. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Приняв векторы за базисные, найти координаты векторов , , где M – середина отрезка AD и (BC,P)=2. ((BC,P)= означает, что ).

2. Найти линейную зависимость между векторами: а) (1,3,0), (5,10,0), (4,-2,6); (11,16,3); б) (2,3,1), (5,7,0), (3,-2,4); (4,12,-3); в) (0,-3,4), (5,2,0), (-6,0,1); (25,-22,16).

3. Определить длины суммы и разности векторов и , если известны их координаты в ортонормированном базисе: (3,-5,8), (-1,1,4).

 

Тема 1.4. Скалярное произведение векторов

Литература: [1], § 8, стр. 25-28; [2], §8, стр. 30-31.

 

Основные определения, теоремы и формулы

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается через . Итак, по определению .

Теорема. Для произвольного числа и произвольных векторов и справедливы следующие равенства:

1) ,

2) и ,

3)

Если известны координаты векторов и относительно ортонормированного базиса, то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат, то есть, если (), (), то

= ,

и угол между этими векторами можно определить по формуле: .

 

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение угла между векторами.

2. чему равен угол между векторами, если хотя бы один из векторов нулевой?

3. Какой можно сделать вывод, если:

1) =0; 2) <0; 3) >0?

4. Для каждого из случаев, приведенных в п.3 сформулируйте обратные утверждения. Справедливы ли они?

5. В чем состоит геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе?

6. Сравните свойства скалярного произведения векторов со свойствами умножения чисел. Перечислите общие свойства этих произведений. Какими свойствами умножения чисел скалярное произведение не обладает? Объясните почему.

7. Пусть = . Следует ли отсюда, что ?

Пример 1. Доказать, что вектор ортогонален вектору .

Решение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов и :

· =

Следовательно, векторы и ортогональны.

Пример 2. Треугольник АВС задан векторами и . Выразить через векторы и вектор , где AH – высота треугольника.

Решение. Выразим вектор через векторы и : = + = + . Так как вектор коллинеарен вектору , то . Тогда = + . Для нахождения величины воспользуемся перпендикулярностью векторов и . Так как они перпендикулярны, то =0, т. е. ( + )( =0. Отсюда и = + .

Задачи

1. Вычислить скалярное произведение векторов =3 -2 и = +2 , если векторы и образуют угол φ= и .

2. Вычислить скалярное произведение векторов =3 -2 и = +2 , если известны координаты векторов и в ортонормированном базисе: (4,-2,-4), (6,-3,2).

3. В ортонормированном базисе даны векторы и . Найти: 1) cos , .

4. Известно, что векторы , , ненулевые и вектор не ортогонален векторам и . При каком условии выполняется равенство · = · ?

5. В пространстве даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: · =0, · =0, · =0.

6. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов: а) = ; б) ( + )²= +2 · + ; в) ( · )²= + ;

г) ( ·( · ) - ·( · ))· =0.

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы = +2 и =5 -4 взаимно перпендикулярны?

8. Вычислите внутренние углы треугольника ABC и убедитесь, что треугольник равнобедренный, если и .

9. Вычислите тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

10. Дан параллелограмм ABCD. Дать геометрическое истолкование равенств: 1) ()² – ( - )²=4 · ;

2) ( + )² + ( - )²=2( ²+ ²); 3) ()( - )= ²- ².

Задачи повышенной трудности

1. Дан тетраэдр SABC. Известны координаты векторов , и в ортонормированном базисе. Найти высоту SH этого тетраэдра.

2. Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длину суммы оставшихся трех векторов.

Указание: попробуйте рассуждать методом от противного.

3. На окружности радиуса 1 с центром в точке O дано 2 n +1 точек A₁, A₂, …, A_{2 n +1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Доказать, что .

Указание: воспользуйтесь методом математической индукции.

 

Домашнее задание

1. Доказать, что ABCD – квадрат, если векторы и в ортонормированном базисе имеют следующие координаты: (3,5,4), (-4 (-3,-5,-4).

2. Вектор образует с векторами и ортонормированного базиса , , соответственно углы 120⁰ и 135⁰. Найти угол, который образует вектор с ортом .

3. ABCD – параллелограмм. Доказать, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны, если в ортогональном базисе

(0,6,-2), (6,3,-1).

 

Тема 1.5. Векторные подпространства

Литература: [1], § 9, стр. 28-32.

 

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть L – непустое множество векторов из векторного пространства V. Множество называется векторным подпространством пространства V, если выполнены следующие два условия.

1) Если и то

2) Если , то для любого вещественного числа .

Например, множество векторов, параллельных фиксированной плоскости образует подпространство векторного пространства. Так как при сложении двух векторов, параллельных плоскости, снова получим вектор, параллельный той же плоскости и при умножении вектора, параллельного фиксированной плоскости, так же получим вектор, параллельный этой плоскости.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое размерность подпространства? Поясните ответ на примерах.

2. Приведите примеры: 1) нульмерного; 2) одномерного; 3) двумерного подпространства.

3. Приведите примеры базисов в одномерном и двумерном пространствах.

4. Что такое координаты вектора в двумерном векторном пространстве? Почему у любого вектора двумерного пространства координаты относительно фиксированного базиса всегда существуют и определяются единственным образом?

5. Перечислите свойства координат векторов в двумерном подпространстве.

6. Доказать, что пересечение любых двух векторных подпространств всегда не пусто.

7. Является ли векторным подпространством пересечение (объединение) двух векторных подпространств?

 

Задачи

1. Являются ли векторным подпространством каждая из следующих совокупностей векторов: а) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых – целые числа? б) все векторы трехмерного векторного пространства, не параллельные данной прямой? в) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых имеют вид (1,a,b), где a,b – действительные числа? г) все векторы (x,y,z) трехмерного векторного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению x+y+z=0?

2. Пусть F – множество всех векторов , где M – внутренняя точка данного угла AOB. Является ли F векторным пространством?

3. В трехмерном векторном пространстве V₃ даны два двумерных векторных подпространства: V₂ – натянутое на векторы и и V₂^´ – натянутое на векторы и . Может ли пересечение V₂ и V₂^´ быть подпространством: а) нульмерным, б) одномерным, в) двумерным?

4. В данном базисе (, ) построить вектор: а) (-2,3), б) (, -2).

5. Даны векторы (2,3), (1,-3), (-1,3). При каком значении коэффициента векторы = + и =-3 +6 коллинеарны?

6. Вектор в базисе (, ) имеет координаты (2,1). Доказать, что векторы =3 - и =-2 + образуют базис, и найти координаты вектора в новом базисе.

7. На прямой AB дана точка C такая, что ( -1), и дана точка D, не лежащая на прямой AB. Разложить: а) по векторам и ; б) по и ; в) по и .