Задачи повышенной трудности

1. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC. Доказать, что , где - длины сторон треугольника.

2. Доказать, что выпуклый четырехугольник, в котором сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин, является параллелограммом.

3. В треугольнике ABC медиана BM пересекается с биссектрисой AD в точке O. Отношение площади треугольника MOA к площади треугольника BOM равна . Найти отношение AC:AB.

 

Домашнее задание

1. Найти диагонали параллелепипеда, зная три его ребра, выходящих из одной вершины, и углы между ними.

2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

3. В правильном тетраэдре найти угол между медианами граней, выходящих из одной вершины.

 

Индивидуальные задания по векторной алгебре

Вариант I

1. Дан тетраэдр АВСD, М - центр тяжести грани АВС, N и К - середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты векторов , , и NK в базисе , , .

2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁C₁D₁ диагонали А₁В и В₁С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Вычислить угол между этими диагоналями.

3. М и М₁ - точки пересечения медиан треугольников АВС и А₁В₁С₁. Доказать, что .

4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла.

5. В четырехугольнике АВСD суммы квадратов длин противоположных сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

 

Вариант 2

1. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ - середина отрезка B₁C₁, М - точка пересечения прямых А₁В и АВ₁. Найти координаты векторов в базисе .

2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе (-2, 3), (0,1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами и .

3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов и выполнено условие , то .

4. Найти угол между биссектрисами АА₁ и АА₂, двух граней правильного тетраэдра АВСD.

5. В правильном тетраэдре АВСD М и N - центры граней ВСD и АСD соответственно. Найти угол между векторами и .

 

Вариант 3

1. В тетраэдре АВСD М - центр тяжести грани ВСD, К и L - середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов в базисе .

2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно, что АВ = 2, BC = 3, АВС = 60°.

3. Доказать, что если вектора и перпендикулярны, то .

4. Доказать, что в четырехугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на он ной паре противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на другой паре таких сторон.

5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней квадрата.

 

Вариант 4

1. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, у которой все ребра равны. Найти угол между векторами и , где М - середина ребра В₁С₁.

2. Точка 0 - центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов в базисе , где М - середина стороны ВС.

3. Пусть - медианы треугольника, сторонами которого являются отрезки а, в, с. Доказать, что

4. Найти длину высоты АН треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, АС = 2.

5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра будут взаимно перпендикулярными.

 

Вариант 5

1. Дан параллелепипед АВСДА₁В₁С₁D₁, точка М - центр грани ВСС₁В₁. Найти координаты вектора в базисе .

2. Дан угол АВС, причем известны координаты векторов (-3,0,4) и (5,-2, -14) в ортонормированном базисе. Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с биссектрисой данного угла.

3. Пусть АН - высота, AM - медиана треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, СА = 4. Найти координата векторов в базисе .

4. В трапеции АВСD основание АD в пять раз больше основания ВС. Найти длины диагоналей трапеции и угол между ними, если известно, что АВ = 6, АD = 10, ВАD = 60°.

5. В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением . Доказать, что медианы АА₁ и ВВ₁ взаимно перпендикулярны.

 

Вариант 6

1. В параллелепипеде АВСDА₁В₁C₁D₁ М и N - середины ребер А₁D и ВС соответственно. Найти координаты вектора в базисе .

2. Векторы (2,-3,0), (1,1,0) заданы своими координатами в базисе , где

угол между векторами равен 60°, а углы между векторами и равны 45°. Найти угол между векторами , и длину вектора + .

3. Пусть ОН - высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого утла к гипотенузе АВ. Найти координаты вектора в базисе , если известно, что СА = в, СВ = а.

4. Найти величину двугранного угла при ребре правильного тетраэдра.

5. Доказать, что прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна каждому из них.

 

Вариант 7

I. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны а. Точка М принадлежит ребру В₁С₁, причем В₁М: МС₁ =2:1, точка 0 - центр грани AВС. Найти длину отрезка ОМ.

2. Компланарны ли векторы (1,2,4), (3,2,1), (-1,2,7)?

3. Пусть CH - высота, СD - биссектриса треугольника АВС, в котором С - прямой, СА =3, СВ = 4. Найти координаты векторов в базисе .

4. Пусть и - ненулевые коллинеарные векторы, α и β - данные вещественные числа. При каком условии существует решение системы уравнений ?

5. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Доказать, что его диагональ АС₁ перпендикулярна плоскости А₁ВD.

 

Вариант 8

1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD боковыми гранями являются правильные треугольники со стороной а. Найти расстояние между серединами ребер -SA и СD.

2. При каких значениях α и β векторы (-2,3,α) и (β,-6,2): а) коллинеарны; б) взаимно ортогональны; в) имеют равные длины? В случаях б) и в) предполагается, что базис - ортонормированный.

3. Дан квадрат ABCD; E - середина стороны АD, точка F - принадлежит прямой AC. Доказать, что прямые EF и FB взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда или F = A.

4. С помощью векторов доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

5. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы каждая пара противоположных ребер АВ и СD, АС и ВD, ВС и АD тетраэдра АВСD была взаимно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы АВ² + СD² = AС² + ВD² = ВС² + АD².

 

Вариант 9

1. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, найти длины отрезков, соединяющих попарно середины противоположных ребер.

2. Даны тройки векторов: а) (-3,0,2), (2,1-4), (11,-2,-2-),

6) (1,0,7), (-1,2,4), (3,2,1). Найти среди них тройку компланарных векторов.

3. Дан треугольник АВС, причем известно, что в ортонормированном базисе (3,0), (0,1). Найти величину угла между высотой АН и медианой ВМ этого треугольника.

4. Даны ненулевой вектор и вещественное число λ. Выяснить геометрический смысл решений уравнения = λ.

5. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

 

Вариант 10.

1. Диагональ АС₁ прямоугольного параллелепипеда образует с каждым из двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол она образует с третьим ребром, выходящим из той же точки А?

2. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Найти наименьшую размерность векторного пространства, содержащего векторы (1,2,4), (3,2,1), (-1,2,7).

4. В трапеции АВСD основание АВ в два раза больше основания СD, О и Е - точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон соответственно. Найти ОЕ, если АВ = 8, АD = 6, DАВ = 60°.

5. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме Пифагора.