Практические занятия по геометрии 2 страница

4. Дан вектор , длина которого равна 3. Построить вектор , если его длина равна 5, и он направлен противоположно вектору ,.

 

Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.

Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в векторном пространстве.

Литература: [1], §§ 6-7, стр. 16-24; [2], §§ 6,7, стр. 19-25.

 

Основные определения, теоремы и формулы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема1: Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число такое, что .

Векторы и называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема2: Если векторы и компланарны, а векторы не коллинеарны, то существуют единственные числа и такие, что .

Рассмотрим систему векторов и зададим n действительных чисел . Вектор

называется линейной комбинацией данных векторов .

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что .

Если же равенство справедливо только при , то система векторов называется линейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1) она упорядочена,

2) линейно независима,

3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы.

Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы и не компланарны, то для любого вектора существуют единственные числа и такие, что .

Пусть B=() – базис векторного пространства V и V. Если , то числа называются координатами вектора относительно базиса B и записывают ().

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис B называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно ортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются .

Теорема 5. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисе вычисляется по формуле

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое подсистема системы векторов?

2. Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?

3. Векторы и коллинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторов и ?

4. Если векторы и компланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторов и , линейно зависима?

5. Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору , то коллинеарен »?

6. Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов; 2) противоположных векторов?

7. Может ли система, состоящая из одного вектора, быть: 1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?

8. Дан вектор относительно базиса B=() векторного пространства V:

1) каковы координаты векторов относительно базиса B?

2) каковы координаты вектора относительно базиса B΄=()?

Пример 1. Даны неколлинеарные векторы и . Коллинеарны ли векторы и ?

Решение 1. В разложении вектора вынесем за скобку :

. Тогда , что свидетельствует о том, что векторы и коллинеарны и противоположно направлены.

Решение 2. Неколлинеарные векторы и образуют базис двумерного векторного пространства. Коэффициенты в разложении векторов и по векторам и являются координатами этих векторов в указанном базисе. В этом базисе вектор Так как два вектора коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам пропорциональны, то, проверяя это условие для векторов и : , убеждаемся в их коллинеарности.

Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между векторами и , надо из определяющих их равенств, исключить векторы и . Если этого сделать нельзя, то векторы и не коллинеарны.

Из первого разложения исключим вектор а: . Из второго разложения исключим вектор . Тогда из последних равенств имеем . Отсюда: . Что и свидетельствует о коллинеарности векторов и .

Пример 2. Из точки О отложены два вектора и . Найти какой-нибудь вектор , параллелный биссектрисе угла АОВ.

Решение.

Найдем орты и векторов и . Отложим их от точки O и построим на них как на сторонах ромб. Так как диагональ ромба делит его углы пополам, то вектор , направлен по биссектрисе угла АОВ.

Пример 3. Даны три вектора (3, -1), (1, -2), (-1, 7). Определить разложение вектора по базису , .

Решение. Пусть () - базис, в котором заданы координаты векторов , и , и пусть вектор в этом базисе имеет координаты (p₁,p₂). Зная координаты векторов , и , найдем координаты вектора : p₁= 3 + 1 - 1, p₂= -1 -2 + 7), т. е. (3, 4).

Если a и b -коэффициенты разложения вектора по базису , , то =a +b . Разложим векторы , и по векторам базиса ():

= , = , = , = .

Тогда = + =

a() + b ().

Так как два вектора равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты, то 3 = 3a+b, 4= -a - 2b, откуда a=2, b= -3. Тогда =2 - 3 .

Пример 4. Разложить ветер, идущий со скоростью 10 м/с с северо-западного направления под углом к северу, на западную и северную компоненты.

Решение.

На рисунке вектор - вектор скорости ветра, а векторы и - его составляющие (восточная и южная) компоненты. Так как АВСД - прямоугольник, то

| | = | |sin = 5 | = = сos =5 . Значит, восточная компонента равна 5 м/с, а южная 5 м/с.

Задачи

1. Доказать, что отношение коллинеарности векторов является отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности на множестве всех векторов?

2. Доказать, что если векторы и не коллинерны, то векторы + и =3 - также не коллинеарны.

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точки P и F – середины ребер AD и AA₁ соответственно. Выяснить, компланарны ли векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Даны координаты трех векторов (-2,3,4), (7,0,2) и (-6,5,-1). Найти координаты векторов -3 + и =4 +5 +3 .

5. Дана трапеция ABCD (. Точки M и N – середины оснований AB и CD, P – точка пересечений диагоналей трапеции.

1) приняв векторы и за базисные, найти координаты векторов ;

2) найти координаты векторов

6. Установить, какие из следующих троек векторов , и линейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и : а) (6,4,2), (-9,6,3), (-3,6,3); б) (5,2,1), (-1,4,2), (-1,-1,6); в) (6,-18,12), (-8,20,-16), (8,7,3).

7. Среди векторов ₁(0,-3,0), ₂(-2,0,5), ₃(0,2,-1), ₄(0,0,4), ₅(1,0,0), ₆(0,1,-3), ₇(1,-2,7), ₈(0,0,0), заданных в базисе (, указать векторы: 1)коллинеарные ; 2) компланарные с векторами и .

8. Даны векторы , и . Выяснить, являются ли они линейно зависимыми, если: а) (-3,0,2), (2,1,-4), (3,-2,4); б) (1,0,7), (-1,2,4), (3,2,1); в) (5,-1,4), (3,-5,2), (-1,-13,-2).

9. Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Приняв векторы за базисные, найти координаты вектора , где M – центр параллелограмма BCC₁B₁, N – центр тяжести треугольника A₁B₁C₁.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что точка C лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что = λ +(1- λ) .

2. Доказать, что для любых векторов , и и чисел α, β и γ векторы α - β , γ - α , β - γ компланарны.

3. Дана трапеция ABCD, у которой нижнее основание AB в два раза больше верхнего CD. Выразить векторы , через векторы = и = .