Практические занятия по геометрии 1 страница

1 семестр

Учебное пособие для студентов

Уфа 2003

УДК 514.122+514.742.2

ББК 22.151

М 69

Рецензенты:

д.ф.-м.н., профессор Маликов Р.Ф. (Башкирский государственный педагогический университет);

кафедра алгебры и геометрии (Башкирский государственный педагогический университет);

кафедра алгебры и геометрии (Стерлитамакский государственный педагогический институт)

Михайлов П.Н.

М 69 Практические занятия по геометрии: Учебное пособие. – Уфа.: РИО Баш ГУ, 2003 – 104 с.

ISBN 5-7477-0709-4

Учебное пособие содержит разработки практических занятий по векторной алгебре и геометрии на плоскости (прямая и линии второго порядка на плоскости), 1 семестр.

Предназначено для студентов очного и заочного отделений физико-математических факультетов педвузов.

УДК 514.122+514.742.2

ББК 22.151

ISBN 5-7477-0709-4 © Михайлов П.Н., 2003г.

ВВЕДЕНИЕ

Вузовский курс геометрии является естественным продолжением школьного курса геометрии. Так, в первом семестре, на основе системы аксиом школьного курса геометрии изучаются такие вопросы, как:

1) векторная алгебра;

2) метод координат на плоскости;

3) применение векторов и метода координат к решению различных геометрических задач, в частности задач из элементарной геометрии.

Изучение алгебраического подхода должно помочь в создании полного и единого представления о предмете геометрии вообще, в частности школьной. Глубокое понимание геометрии создает больше возможности для учителя в выборе способов изложения материала, а, следовательно, в выборе из них наилучшего.

Данное пособие призвано помочь студентам в организации плодотворной самостоятельной работы при изучении геометрии, обратить внимание на наиболее важные вопросы теории и подходы к поиску решения задач. Всему этому, как нам кажется, будет содействовать самостоятельное продумывание студентами ответов на вопросы для самоконтроля при подготовке к практическому занятию по соответствующей теме, решение задач на занятиях под руководством преподавателя, где различные способы решения этих задач являются предметом особого внимания, и работа над задачами дома. Самостоятельному овладению способами решения задач по геометрии помогут предлагаемые к каждой теме типовые задачи с решениями.

При подготовке к занятиям рекомендуем студентам внимательно ознакомиться с содержанием лекций и разделов учебников, которые указаны отдельно по каждой теме. Заметим, что здесь указана только основная литература, со списком дополнительной литературы можно ознакомиться по рабочей программе преподавателя.

Пользуясь вопросами для самоконтроля, необходимо убедиться в том, что вы хорошо усвоили теоретический материал. Затем приступить к решению задач. В случае, если возникнут вопросы при решении какой-либо задачи, рекомендуем внимательно изучить, приведенное в пособии, решение схожей задачи.

В дальнейшем изложении будем придерживаться следующих обозначений:

1) точки обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …;

2) прямые – малыми первыми буквами латинского алфавита: a,b,c,… или двумя большими буквами: AB, CD,…;

3) плоскости – малыми буквами греческого алфавита: a,b,… или тремя большими буквами: ABC,EFC,…;

4) лучи будем обозначать малыми промежуточными буквами латинского алфавита: h, k, l,… или двумя большими буквами: OA, KB,…; в этом случае на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором буква, обозначающая какую-нибудь точку на луче;

5) отрезок с концами A и B обозначается так: AB или BA, длина отрезка обозначается тем же символом AB или , если важно подчеркнуть, что имеется в виду длина отрезка, однако непосредственно из текста этого не видно;

6) для сокращения записи будем применять различные знаки, известные из элементарной теории множеств и логики: Î, Ì, Ç, È, Ï, =, ¹, Þ, Û;

Также часто будем пользоваться следующими обозначением: íх/…ý - множество элементов х, таких, что … (после знака указывается свойство, какими обладают элементы этого множества). Другие обозначения будут пояснены в последующем изложении.

Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве

Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.

Сложение и вычитание векторов

Литература: [1], §§ 1-4, стр. 1-5; [2], §§ 2-4, стр. 10-14.

Основные определения, теоремы и формулы

Отрезок называется направленным, если указаны его начало и конец. Если A – начало, а B – конец направленного отрезка, то такой направленный отрезок обозначается так: .

Два направленных отрезка называются эквипаллентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Например, пусть ABCD – квадрат. Тогда направленные отрезки и эквиполлентны, и не эквиполлентны, они имеют одинаковые длины, но разные направления.

Вектор – это множество направленных отрезков, любые два из которых эквиполлентны. Вектор обозначается одной буквой, над которой ставится стрелка: . Если направленный отрезок - представитель вектора , то направленный отрезок вполне определяет весь класс ему эквиполлентных направленных отрезков. Поэтому если , то вектор обозначают также через .

Возьмем произвольные векторы

. От какой-нибудь точки А отложи вектор

, а затем от точки В отложим вектор

. Вектор

называется суммой векторов и

и обозначается так:

. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника:

Иногда векторы удобно складывать по правилу параллелограмма, например, на приведенном ниже рисунке сумма векторов найдена по правилу параллелограмма: .

Теорема: Для произвольных векторов , и справедливы следующие равенства:

1°. (свойство коммутативности)

2°. (свойство ассоциативности)

Разностью двух векторов и называется вектор такой, что + = . Разность векторов и обозначается - . По правилу треугольника = - .

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется прямое произведение двух множеств?

2. Что такое отношение D на множестве М?

3. Какие можете привести примеры отношений на множестве?

4. Какое отношение называется отношением эквивалентности? Приведите примеры отношений, которые:

а) являются,

б) не являются

отношением эквивалентности.

5. Какой отрезок называется направленным?

6. Какие направленные отрезки называются эквиполлентными? Какие отрезки будут не эквиполлентными?

7. Сформулируйте и докажите признак эквивалентности направленных отрезков.

8. Что такое вектор? Нуль-вектор? Какие величины в природе изображаются векторами? Является ли векторной величиной: 1) работа; 2) объем; 3) вес? Если да, то куда эта величина направлена?

9. Сформулируйте и докажите лемму о равенстве векторов.

10. Сформулируйте и докажите утверждение об откладывании вектора от точки.

11. Как определяется сумма двух векторов? Покажите на чертеже.

12. Докажите коммутативность сложения векторов.

13. Докажите ассоциативность сложения векторов.

14. В чем смысл “правила многоугольника”?

Пример 1. Показать, что если для любых трех векторов , и имеет место равенство , то из их представителей можно составить треугольник.

Решение. Равенство согласно правилу сложения векторов означает, что если начало вектора совместить с концом вектора , а начало вектора - с концом вектора , то конец вектора совместится с началом вектора , т.е. ломанная, составленная из векторов замкнется, образуя треугольник.

Задание: Нарисуйте три вектора, из которых нельзя составить треугольник.

Пример 2. Пусть АВСD параллелограмм, и О – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны AD. Полагая и , выразить через и векторы , и .

Решение. По правилу многоугольника для сложения векторов имеем: ; ; ; и др.

Из возможных способов выберем тот, при котором из точки А можно прийти в точку В, двигаясь только по известным векторам. В данном случае выбираем способ:

. Так как , то . Аналогично находим: .

Задачи

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Указать, какие из следующих пар направленных отрезков эквиполлентны: а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

2. Доказать, что направленные отрезки AB и CD эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точки E и F – соответственно середины отрезков BC и AD. Построить следующие векторы:

а)

4. Доказать, что для произвольных векторов и справедливо равенство - (- )= + .

5. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка O пространства. Доказать, что

6. Даны три точки A, B и C. Построить точку P такую, чтобы .

7. A, B, C и D – произвольные точки пространства, M и N – середины отрезков AD и BC. Доказать, что 2 . Какие можно вывести следствия из последнего утверждения?

8. Доказать, что для произвольных векторов и справедливы следующие соотношения: а) . При каком условии в этих соотношениях имеет место знак равенства?

9. Что можно сказать о векторах, для которых выполнено соотношение: а) ⁭⁭⁭⁭ ⁭ (- ); б) ( + )‌ ‌ - ?

10. Треугольники ABC и AB₁C₁ имеют общую медиану AM. Доказать, что в этом случае

11. Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Задачи повышенной трудности

1. В пространстве дана фигура, состоящая из конечного числа точек, симметричных относительно точки C. Доказать, что сумма всех векторов с общим началом и концами в точках данной фигуры равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда общим началом векторов является точка C.

2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE BC║AD, CD║BE, DE║AC, AE║BD. Доказать, что AB║CE.

3. Периметр пятиугольника равен I. Строятся последовательно пятиугольники с вершинами в серединах сторон предыдущих пятиугольников. Доказать, что сумма периметров всех этих пятиугольников не больше 8.

Домашнее задание

1. Пусть A, B, C, D – произвольные точки пространства, а M, N, P, Q – соответственно середины отрезков AB, BC, CD, DA. Доказать, что направленные отрезки MH QP эквиполлентны.

2. Точки M, H – середины ребер AA₁ и BB₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ с центром O. Построить следующие векторы:

3. Доказать, что если для четырех точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, и некоторой точки O пространства имеет место равенство то ABCD – параллелограмм.

4. Доказать, что для любых векторов справедливо соотношение

Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа

Литература: [1], §5, стр. 14-16; [2], §§ 2-4, стр. 14-19.

Основные определения, теоремы и формулы

Произведением вектора на действительное (вещественное) число называется вектор = , который удовлетворяет следующим условиям:

1) , где абсолютное значение числа ,

2) , если и , если <0.

Теорема: Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

1) и ,

2) ,

3) ,

4) .

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях равно ?

2. Что можно сказать о векторах и , если известно, что уравнение : 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?

3. Пусть . Следует ли отсюда, что = ?

Пример 1. По данным векторам и построить векторы:

1) ; 2) ;

Решение. Пусть

- данные векторы (см. рисунок):

1) Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению суммы векторов вектор .

2) Возьмем произвольную точку М пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению разности векторов .

Задачи

1. Дан вектор . Построить векторы: а) ; б) ; в) .

2. Дано . Каким условиям должны удовлетворять числа и , чтобы точка C принадлежала: 1) прямой AB, 2) лучу AB, 3) отрезку AB?

3. Записать с помощью векторов условие того, что четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и СD.

4. Точка M – середина отрезка AB, O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

5. В треугольнике ABC отрезки AM и AN являются соответственно медианой и биссектрисой внутреннего угла. Выразить векторы и через векторы .

6. Доказать, что если ABCDEF – правильный шестиугольник, то .

7. Угол AOB меньше развернутого. Используя векторы и , найти вектор, параллельный биссектрисе данного угла.

Задачи повышенной трудности

1. Точка O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и M и N - середины его противоположных сторон AB и CD лежат на одной прямой. Доказать, что четырехугольник ABCD – трапеция или параллелограмм.

2. Даны правильный n – угольник A₁, A₂, …, A_n с центром O и произвольная точка M пространства. Доказать, что: а) б) .

3. Доказать, что точка M – центр тяжести треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

Домашнее задание

1. По данным векторам и построить векторы:

а) 3 ; б) -2 + .

2. Точка M – центр параллелограмма ABCD, а O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ направленные отрезки, совпадающие с его ребрами, определяют векторы: . Построить каждый из следующих векторов: а) + - ; б) + + ; в) - - + .