Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл является числом, не зависящим от выбора обозначения переменной интегрирования, т. е.

.

2. Если функция f (x) определена в точке a, то

.

3. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то при замене пределов интегрирования меняется знак:

.

4. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [ a, b ], и — постоянные множители, то функция тоже интегрируема на этом отрезке, причем

.

5. Если функция f (x) интегрируема на отрезках [ a, c ] и [ c, b ], то она интегрируема и на отрезке [ a, b ], причем

.

 

 

Геометрически этот факт иллюстрируется рис. 7.3.

 

Рис. 7.3. Разбиение площади под кривой на две фигуры

 

Можно утверждать обратное. Если функция интегрируема на отрезке [ a, b ], то она интегрируема и на любой части этого отрезка.

 

6. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке, причем существует точка c [ a, b ] такая, что справедливо равенство

.

Это свойство, иллюстрируемое рис. 7.4, часто называют теоремой о среднем значении или просто теоремой о среднем.

 

 

 

Рис. 7.4. Пояснение теоремы о среднем

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], следовательно, по свойству 6 она интегрируема на этом отрезке. Выберем произвольную точку x [ a, b ]. Тогда f (x) также интегрируема на отрезке [ a, x ] по свойству 5.

Рассмотрим функцию

,

которая называется интегралом с переменным верхним пределом. Докажем, что функция F ₁(x) является первообразной для функции f (x) на отрезке [ a, b ].

 

Дадим переменной x приращение x так, что x + x [ a, b ]. Тогда приращение функции

.

Воспользуемся теоремой о среднем

, с [ x, x + x ].

По определению производной

.

Таким образом, доказано, что функция F ₁(x) является первообразной для f (x) на отрезке [ a, b ].

Возьмем какую-либо другую первообразную F (x) для f (x). По теореме о первообразных функциях

F (x) = F ₁(x) + C,

т. е. на отрезке [ a, b ].

Рассмотрим значения F (x) на концах отрезка [ a, b ].

;

.

Отсюда

.

Перейдя по свойству 1 к переменной интегрирования x и вводя обозначение, называемое символом двойной подстановки, имеем

,

окончательно запишем основную формулу интегрального исчисления — формулу Ньютона-Лейбница.

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл, если существует первообразная F (x) подынтегральной функции f (x).

Следует помнить, что эта формула была получена в предположении, что f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Поэтому, если на этом отрезке есть точка разрыва подынтегральной функции, то формула Ньютона-Лейбница в общем случае неприменима.

Пример 7.25.

Вычислить определенные интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

 

 

7.5. Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция у = f (x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [ а, b ]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой у = f (x)на [ а, b ]численно равна определенному интегралу

.

Заметим, что перед производством вычислений всегда строят качественный вид фигуры, площадь которой необходимо вычислить.

 

Пример 7.26. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , х = 0, у = 4.

Решение. Из чертежа видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

S = S _{0 авс} – S _{0 ВС} ,

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Решая систему

получаем, что точка В пересечения прямой у = 4 и кривой имеет координаты (2; 4).

Тогда

,

.

Окончательно (ед²).

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом, если рассматривать площадь под кривой до оси у. Тогда пределы интегрирования необходимо заменить на отрезок [0; 4], на котором переменная у меняет свои значения:

16/3(ед.²).

Пусть функция у = f (x)неположительная и непрерывна на [ а, b ].

Тогда площадь под осью х вычисляется с учетом неположительности функции у = f (x):

, т.е. .

Таким образом, если функция у = f (x) неположительная на [ а, b ],то площадь S над кривой у = f (x)на [ а, b ]отличается з н а к о м определенного интеграла .

Пример 7.27. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , у = х – 2, у = 0.

Решение. Из рисунка видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника 0 АВ может рассматриваться как площадь над ломанной кривой 0 АВ на отрезке [0; 2]. Однако указанная кривая не задается одним уравнением.

Поэтому для нахождения S = S _{0 AB} разобьем криволинейный треугольник 0 АВ на части, проецируя точку излома А на ось абсцисс. Тогда S = S _{0 AC} + S_ABC.

Абсцисса точки А легко определяется, как точка пересечения линий и у = х – 2. Ее значение равно 1. Тогда можно записать

;

.

Окончательно (ед.²).

 

 

Пусть на отрезке [ а, b ]задана непрерывная функция y = f (x)общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция у = f (x) будетзнакопостоянна или равна нулю.

 

 

В этом случае площадь заштрихованной фигуры равна алгебраической сумме S = S ₁ + S ₂ + S ₃ соответствующих определенных интегралов:

.

 

Рассмотрим теорему, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур:

 

пусть на отрезке[ а, b ]заданы непрерывные функции у = f ₁(x) и у = f ₂(x)такие, что f ₂(x) ≥ f ₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y = f ₂(x) и y = f ₁(x),на отрезке[ а, b ] вычисляется по формуле

. (7.1)

 

Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке [ а, b ].

1. f ₂(x) ≥ f ₁(x) ≥ 0.

.

 

2. 0 ≥ f ₂(x) ≥ f ₁(x).

 

 

3. f ₂(x) ≥ 0, f ₁(x) 0.

.

4. Общий случай сводится к частным случаям,

рассмотренным выше, если разбить отрезок [ а, b ]на отдельные отрезки [ а, с ],[ с, d ],[ d, b ].

 

Пример 7.28. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 2, у = х.

Решение. Найдем координаты точек пересечения параболы у = х – 2 и прямой у = х. Решая систему из этих уравнений, получим точки (– 1; –1) и (2; 2).

На интегрируемом отрезке [–1; 2] выполняется х ≥ х ² – 2. Тогда по формуле (5.1) имеем:

(ед.²).

Пример 7.29.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4– х ², у = х ²– 2 х.

Решение. Координаты точек пересечения кривых у = 4 – х ² и у = х ² –2 х найдем из системы их уравнений: (–1; 3) и (2; 0).

Проецируя фигуру на ось абсцисс, видно, что интегрируемый отрезок составляет [–1; 2]. На этом на отрезке выполняется f ₂(x) = 4 – х ² ≥ f ₁(x) = х ² – 2 х.

Применяя формулу (5.1), получаем

(ед.²).

Пример 7.30.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 6 x – x ² и осью0 x.

Решение. Графиком функции y =6 x – x ² является квадратичная парабола, повернутая ветвями вниз. Абсциссы точек пересечения графика с осью x находятся из решения уравнения 6 x – x ² = 0, т. е. x ₁ = 0; x ₂ = 6. Следовательно, фигура, площадь которой нужно найти, имеет вид, изображенный на рисунке.

Из геометрического смысла определенного интеграла очевидно, что площадь

(ед.²).

Пример 7.31.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = e^x, осью x, осью y и прямой x = 2.

Решение. Из рисунка следует, что

(ед.²).

Пример 7.32.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x ² и

y = x + 2.

Решение. Из рисунка видно, что искомая заштрихованная площадь S равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных с боков линиями x = x ₁и x = x ₂.Значения x ₁и x ₂представляют собой абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая уравнение:

; ;

; ; ; .

Искомая площадь S равна

(ед.²).

7.6. Методы вычисления определенного интеграла

 

Необходимо заметить, что вычисление определенного интеграла производится в два этапа.

На первом этапе вычисляется первообразная, а затем (на втором этапе) в нее подставляются пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.

Методы вычисления первообразной определенного интеграла совершенно аналогичны неопределенному интегрированию.

Однако при использовании методов замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле имеются свои особенности.

 

Действительно, если необходимо вычислить

,

в котором f (x) dx можно представить в виде

,

то используется замена переменной t = u (x).

При этом

,

где α = u (a); β = u (b).

Также аналогично вычислению неопределенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно получить следующую формулу интегрирования по частям

.

Пример 7.33.

.

 

 

Пример 7.34.

.

Пример 7.35.

.

Несобственные интегралы

 

Пусть функция y = f (x) определена и интегрируема на любом отрезке [ a, t ], t > a. Тогда несобственным интеграломс бесконечным верхним пределом называется предел

 

= .

Если этот предел существует и конечен, то указанный несобственный интеграл называется сходящимся и он равен этому пределу.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся и его вычисление невозможно.

 

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:

.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами можно представить как сумму

.

 

Если оба интеграла в правой части этого равенства являются сходящимися, то и интеграл в левой части сходящийся и он равен сумме этих интегралов. Если хотя бы один из интегралов в правой части расходится, то и результирующий интеграл тоже расходится.

 

Введем понятие несобственного интеграла с конечными пределами, при приближении к которым функция стремится к бесконечности.

Рассмотрим функцию, неограниченную на отрезке интегрирования.

Пусть , как показано на рис. 7.5.

Тогда несобственный интеграл определяется как

,

 

где — бесконечно малая величина. Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходящийся и он равен этому пределу. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходящийся.

 

 

Аналогично вводится несобственный интеграл, если :

.

Пример 7.38.

.

Пример 7.39.

.

Пример 7.40.

.

Пример 7.41.