Пример 7.1.
Функция F (x)= x 2является первообразной для функции f (x)= 2 x на всей числовой оси, так для любого x выполняется 
. Функция F 1(x)= x 2–3 также первообразная для f (x)= 2 x, т. к. 
.
Функция F (x)= sin x является первообразной для f (x)= cos x, т. к. 
. Но функция F 1(x)= sin x + 5 также является первообразной для f (x)= cos x, т. к. 
.
Из примеров видно, что если задана функция f (x), то ее первообразная не может быть определена однозначно, т. е. f (x) имеет не одну первообразную.
Теорема. Пусть функция F (x) является первообразной для f (x). Тогда и функция
F (x)+ C,
в которой С — постоянная величина, также является первообразной для f (x).
Обратно, если F 1(x) и F 2(x) — две различные первообразные для f (x), то они отличаются на постоянную величину С, т. е.
F 1(x) = F 2(x) + C.
Доказательство:
а) так как
,
то по определению первообразной функции F (x) + C является первообразной для f (x);
б) пусть у функции f (x) существуют две первообразные F 1(x)и F 2(x). Найдем их разность, которая тоже является функцией
Ф (x) = F 1(x) – F 2(x).
Найдем ее производную.
.
Так как производная функции Ф (х) равна нулю, то Ф (х) представляет собой некоторую постоянную величину С. Поэтому
Ф (х) = С, F 1(x) – F 2(x) = C 
F 1(x) = F 2(x) + C.
Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от f (x) в области определения первообразных.
Неопределенный интеграл обозначается
,
где 
— знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, а переменная x называется переменной интегрирования.
Так как все первообразные для f (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то ясно, что
,
т. е. неопределенный интеграл определяет семейство функций.
Процесс нахождения неопределенного интеграла от функции f (x) называется интегрированием этой функции.
Для нахождения конкретной первообразной необходимо задать координаты точки, через которую будет проходить график первообразной.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
.
Действительно,
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
По определению дифференциала
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
.
Так как было определено, что 
, то
.
4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
.
Доказательство:
.
5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен соответствующей алгебраической сумме интегралов от этих функций
.
Рассмотрим интегралы от основных элементарных функций в виде таблицы, которая получается путем простого подбора первообразной так, чтобы производная первообразной была бы равна подынтегральной функции.
Таблица неопределенных интегралов
1. 
, 
;
2. 
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
13. 
.
Интегралы, входящие в эту таблицу, обычно называют табличными.
Пример 7.2.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Нахождение неопределенных интегралов путем обращения к таблице интегралов часто называют непосредственным интегрированием.
