Свойства неопределенного интеграла.

Пример 7.1.

Функция F (x)= x ²является первообразной для функции f (x)= 2 x на всей числовой оси, так для любого x выполняется . Функция F ₁(x)= x ²–3 также первообразная для f (x)= 2 x, т. к. .

Функция F (x)= sin x является первообразной для f (x)= cos x, т. к. . Но функция F ₁(x)= sin x + 5 также является первообразной для f (x)= cos x, т. к. .

Из примеров видно, что если задана функция f (x), то ее первообразная не может быть определена однозначно, т. е. f (x) имеет не одну первообразную.

Теорема. Пусть функция F (x) является первообразной для f (x). Тогда и функция

F (x)+ C,

в которой С — постоянная величина, также является первообразной для f (x).

Обратно, если F ₁(x) и F ₂(x) — две различные первообразные для f (x), то они отличаются на постоянную величину С, т. е.

F ₁(x) = F ₂(x) + C.

Доказательство:

а) так как

,

то по определению первообразной функции F (x) + C является первообразной для f (x);

б) пусть у функции f (x) существуют две первообразные F ₁(x)и F ₂(x). Найдем их разность, которая тоже является функцией

Ф (x) = F ₁(x) – F ₂(x).

Найдем ее производную.

.

Так как производная функции Ф (х) равна нулю, то Ф (х) представляет собой некоторую постоянную величину С. Поэтому

Ф (х) = С, F ₁(x) – F ₂(x) = C F ₁(x) = F ₂(x) + C.

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от f (x) в области определения первообразных.

Неопределенный интеграл обозначается

,

где — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, а переменная x называется переменной интегрирования.

Так как все первообразные для f (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то ясно, что

,

т. е. неопределенный интеграл определяет семейство функций.