Понятие определенного интеграла, его геометрический

и экономический смысл

 

Пусть на отрезке [ a, b ] определена некоторая функция y = f (x) (рис. 13.1). Разобьем отрезок [ a, b ] на n частей точками x ₁ , x ₂ ,…, x_{n –1} . Для унификации обозначений положим a = x ₀ ; b = x_n.

Отрезок [ x_{k –1} , x_k ] назовем k -тым частичным отрезком. Длина k -того частичного отрезка равна

x_k = x_k – x_{k –1} .

Число d равное наибольшей длине k -того частичного отрезка называется диаметром или мелкостью разбиения

.

Выберем на каждом частичном отрезке [ x_{k –1} , x_k ] произвольную точку _k, найдем f ( _k) и составим сумму

.

Функция называется интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [ a, b ]. Ясно, что таких интегральных сумм можно составить бесконечное множество.

Если существует предел интегральных сумм при (при этом ), то он называется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от a до b, а функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].

Эту формулу можно записать в виде:

 

.

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f (x), как и в случае неопределенного интеграла, называется подынтегральной функцией.

Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой множество функций, определенный интеграл — это вполне определенное число.

 

Геометрический смысл определенного интеграла. Как видно из рис. 7.1, интегральная сумма

численно равна площади заштрихованной ступенчатой фигуры.

 

При переходе к пределу при интегральная сумма по определению будет равна интегралу , а ступенчатая линия, ограничивающая сверху заштрихованные прямоугольники, совпадет с графиком функции y = f (x) на отрезке [ a, b ].

 

 

Рис. 7.1. Разбиение площади под кривой функции y = f (x)

 

 

Следовательно, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он по абсолютной величине численно равен площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной графиком функции y = f (x), осью x и прямыми x = a и x = b (рис. 7.2).

 

 

 

Рис. 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла

 

 

Символ абсолютной величины здесь используется потому, что площадь фигуры является величиной положительной, а определенный интеграл может быть отрицательным числом, если, например, f (x) < 0 на отрезке [ a, b ] или если при положительной f (x) верхний предел интегрирования меньше нижнего.

 

Экономический смысл определенного интеграла состоит в том, что если подынтегральная функция является предельной величиной (т. е. производной) какого-либо экономического показателя, то определенный интеграл представляет собой соответствующую этому показателю суммарную величину.

Например, пусть известна производительность труда как функция времени f (t). Из курса экономики известно, что производительность труда представляет собой предельный объем произведенной продукции (т. е. производную объема произведенной продукции по времени). Тогда объем V продукции, произведенной от момента времени t ₁ до момента t ₂, равен определенному интегралу

.