Краткие сведения из теории

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек системы:

(4.1)

где и – масса и скорость -й точки системы.

Если тело движется поступательно, то его кинетическая энергия

(4.2)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси вращения

(4.3)

Если тело совершает плоскопараллельное движение,

(4.4)

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме имеет вид:

, (4.5)

где – суммарная мощность внешних сил, действующих на систему.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме запишется так:

(4.6)

где – начальное и текущее значение кинетической энергии системы;

– сумма работ внешних сил, действующих на систему.

Пример решения задачи

Пример задачи № 4. Механическая система состоит из груза массой , блока массой и цилиндра массой Механическая система начинает двигаться из состояния покоя под действием веса груза . Какую скорость приобретет груз , переместившись вниз на расстояние равное 1 м? Качение цилиндра происходит без проскальзыва-ния с коэффициентом трения качения . Коэффициент трения скольжения Радиусы инерции: блока – цилиндра – Внешние радиусы: блока – цилиндра – Внутренние радиусы: блока – цилиндра – Определить, с каким ускорением будет двигаться груз в этот момент времени.

Решение.

1. Для определения скорости груза применим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы:

(4.7)

где – текущее значение кинетической энергии системы;

– сумма работ всех внешних сил, действующих на систему.

2. Зададим грузу скорость и выразим через нее скорости других точек и тел механической системы (рис. 4.1):

– скорость точки блока – (4.8)

– угловая скорость блока – (4.9)

– скорость точки блока – (4.10)

– скорость центра масс цилиндра – (4.11)

– угловая скорость цилиндра – (4.12)

Точка контакта Р(МЦС) цилиндра с горизонтальной опорной поверхностью называется мгновенным центром скоростей (ее скорость всегда равна нулю).

3. Вычислим кинетическую энергию механической системы в виде функции от искомой скорости

, (4.13)

где: – кинетическая энергия груза блока и цилиндра соответственно.

 

Рис. 4.1.

 

Так как груз совершает поступательное движение, то его кинетическая энергия определяется по формуле:

. (4.14)

Блок совершает вращение вокруг неподвижной оси , значит, его кинетическая энергия вычисляется по выражению:

. (4.15)

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение, его кинетическая энергия рассчитывается по выражению:

. (4.16)

Выражения (4.14) – (4.16) подставим в уравнение (4.13), в результате получим окончательную формулу для вычисления кинетической энергии всей системы:

. (4.17)

4. Вычислим сумму работ всех внешних сил, действующих на систему при заданном перемещении груза , –

– работа силы тяжести груза – ; (4.18)

– работа нормальной реакции наклонной поверхности, по которой скользит груз – ; (4.19)

– работа силы трения скольжения, действующей на груз, –

; (4.20)

– работа силы тяжести блока – , так как ; (4.21)

– работа реакции неподвижного шарнира блока – ; (4.22)

– работа силы тяжести цилиндра – ; (4.23)

– работа нормальной реакции горизонтальной опорной поверхности – , так как ; (4.24)

– работа силы трения скольжения, действующей на цилиндр, – ; (4.25)

– работа момента пар сил сопротивления качению –

. (4.26)

Просуммируем выражения (4.18) – (4.26) для получения окончательной формулы для расчета суммарной работы всех внешних сил:

(4.27)

5. Выражения (4.17) и (4.27) подставим в формулу (4.7) для определения искомой скорости:

(4.28)

После подстановки в формулу (4.28) численных значений (обращаем внимание на размерность величин) получаем

6. Для определения ускорения груза используем дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии системы:

(4.29)

Выражение для определения суммарной мощности получается, если продифференцировать по времени формулу для вычисления суммарной работы этих же сил (4.27):

, (4.30)

так как а мощность сил

Теперь дифференцируем по времени выражение для расчета кинетической энергии системы (4.17):

, (4.31)

где – ускорение груза.

Подставляем формулы (4.30), (4.31) в теорему (4.29) и получаем выражение для определения требуемого ускорения:

. (4.32)

После подстановки в формулу (4.32) численных значений (обращаем внимание на размерность величин) получаем

Положительное значение ускорения говорит о том, что груз движется вниз ускоренно.