Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.15), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.16), - треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их φ1, φ2 и φ3) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).
Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3 через I1, I2 и I3.
Часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.
Рис.2.15 Рис.2.16
Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I1 I2 и I3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.
Для звезды
'(2.25)
Но
(2.26)
Подставим (2.26) в (2.25) и найдем φ0:
откуда
(2.27)
Введем φ0 в выражение (2.26) для тока I1:
(2.28)
Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.16
(2.29)
Так как ток I, в схеме рис. 2.15 равен току I, в схеме рис. 2.16 при любых значениях потенциалов φ1, φ2 и φ3, то коэффициент при φ2 в правой части (2.27) равен коэффициенту при φ2 в правой части (2.26), а коэффициент при φ3 в правой части (2.27) - коэффициенту при φ3 в правой части (2.26).
Следовательно,
(2.30)
(2.31)
Аналогично
(2.32)
Формулы (2.30)-(2.32) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе - сумма проводимостей лучей звезды.
Из уравнений (2.30)-(2.32) выразим сопротивления лучей звезды 
; 
и 
через сопротивления сторон треугольника: 
; 
и 
С этой целью запишем дроби, обратные (2.30)-(2.32):
(2.33)
где
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Подставив (2.33), (2.35), и (2.36) в (2.34), поучим:
.
Следовательно,
,
Подставив m в (2.35), найдем
. (2.37)
Аналогично
; (2.38)
. (2.39)
Структура формул (2.37)-(2.39) аналогична структуре формул (2.30)-(2.32).
Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, рис. 2.17 а, б. Схема до преобразования изображена на рис. 2.17 а, штриховой линией обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.17 б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы на рис. 2.17 а.
В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере рис. 2.17 в,г. Схема до преобразования изображена на рис. 2.17 в, штриховой линией обведена преобразуемая в треугольник звезда. На рис. 2.17 г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений.
Рис.2.17
