Входные и взаимные проводимости ветвей используют при выводе общих свойств линейных электрических цепей и при расчете цепей по методу наложения (см.формулу (2.13)).
На рис. 2.9 а изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: m и k. Поместим в ветвь т ЭДС Ет (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы k -ветвь входила только в k-контур, а m -ветвь - только в m-контур. ЭДС Ет вызовет токи в ветвях k и m:
(2.14)
а б в
Рис.2.9
Коэффициенты g имеют размерность проводимости.
Коэффициент g с одинаковыми индексами (gmm) называют входной проводимостью ветви (ветви m). Он численно равен току в ветви m, возникшему от действия ЭДС Ет = 1В (единичной ЭДС): Im, = 1 gmm.
Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, gkm есть взаимная проводимость k- и m-ветвей. Взаимная проводимость gkm численно равна току в k- ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в m -ветви. (Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе: вход проводимость m-ветви - это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная проводимость ветвей k и m - коэффициент пропорциональности между током k-ветви и ЭДС m-ветви при oti сутствии ЭДС в других ветвях схемы).
Входные и взаимные проводимости могут быть определены расчетным и опытным путями.
При их расчетном определении составляют уравнения по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы D и по нему необходимые алгебраические дополнения:
(2.15)
(2.16)
По формуле (2.16) gkm может получиться либо положительной, т отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС Е направленная согласно с контурным током в m -ветви, вызывает ток в k -ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным правлением контурного тока Ik по k-ветви.
При опытном определении gmm и gkm в m -ветвь схемы (рис. 2.9 б) включают источник ЭДС Еm, а в k -ветвь - амперметр (миллиамперметр). Поделим ток Ik на ЭДС Еm, и найдем значение gkm. Для определения входной проводимости gmm ветви m необходимо измерить ток этой ветви, вызванной ЭДС Еm. Частное от деления тока m -ветви на ЭДС m- ветви и дает gmm.
Рис.2.10.
Выделим m -ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не содержащую ЭДС) некоторым прямоугольником (рис. 2.10). Вся схема, обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам ab обладает некоторым сопротивлением. Его называют входным сопротивлением. Входное сопротивление m- ветви обозначим Rвх.m. Тогда
(2.17)
Таким образом, входное сопротивление m -ветви есть величина, обратная входной проводимости этой ветви. Его не следует смешивать с полным сопротивлением m -контура в методе контурных токов.
Теорема взаимности.
Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванный источником ЭДС Еm, находящимся в т-ветви, Ik = Еm gkm равен току 1т в т-ветви, вызванному источником ЭДС Ек (численно равной ЭДС Еm), находящимся в k -ветви, Iт = Ек gmk.
Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.9 а. Выделим две ветви схемы: к- и m -ветви. Включим в ветвь т источник ЭДС Еm в ветвь к - амперметр А. Амперметр для измерения тока 1к включаем только для наглядности; сопротивление амперметра полагаем равным нулю. Пусть каждая из ветвей к и т входит соответственно только в k- и m -контуры. Поэ-тому по методу контурных токов 1к =Ет Δ km /Δ. Поменяем местами ис-точник ЭДС и амперметр, т. е. источник ЭДС переместим из т- в k - ветвь и назовем теперь Ек, а амперметр - из к- в m- ветвь. В этом случае ток Im = Ек Δ тк /Δ.
Так как Ек = Ет, а Δ тк = Δ кт в силу симметрии определителя системы Δ относительно главной диагонали, то ток 1к в схеме на рис 2.9 б равняется току 1m в схеме на рис. 2.9 в.
При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах на рис. 2.9 б, в.
Так, если ЭДС Ек источника ЭДС, находящегося в k -ветви схемы (рис. 2. в), направлена согласно с контурным током 1к (рис. 2.9 б), то положительное направление отсчета для тока Iт (рис. 2.9 в) будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви т (ЭДС Ет в схеме на рис. 2.9 б направлена по Iт).
Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют необратимыми.
Теорема компенсации.
Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить:
1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении;
2)источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопро-тивлении и имеет то же направление, что и ток I.
Номер ветви соответствует индексу ЭДС.
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.11 а).
Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении R под действием тока I (Е = I R; рис. 2.11 б), то ток I в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между точками а и с на рис. 2.11 б при этом равна нулю. Действительно,
Если φ с = φа, то точки а и с можно объединить в одну, т. е. закоротить участок ас и получить схему, где вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е (см. рис. 2.11 в).
Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.11 г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные R и Е на участке ас (см. рис. 2.11б) параллельным соединением источника тока J = E/ R = I и сопротивления R. Так как Uac = 0, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы.
Если ЭДС Е участка bc включить в состав источника тока, то получим схему, где напряжение Uba = -I R (рис. 2.11 г).
Рис.2.11
