ДӘріс. Бірінші типті қисық сызықты интегрладар. Екінші типті қисық сызықты интеграл. Грин формуласы.

1. Бірінші типті қисық сызықты интегралдар. Бұл ұғымға келу үшін соған келтіретін бір механикалық есепті қарастырайық. Қисық С берілсін. Бұл қисықтың бойында массалар орналасқан және олардың сызықтық тығыздығы қисықтың барлық М нүктелерінде болсын. Тұтас қисықтың С m массасын анықтау керек болады.

Бұл үшін қисықтың А және В ұштарының аралығына қалауымызша нүктелерді қондырамыз.

Қисықтың доғасынан бір нүктесін алып, сол нүктедегі тығыздықты есептейміз. Осы участоктың барлық нүктелерінде тығыздық нүктесіндегідей деп есептеп және доғаның ұзындығын деп белгілеп, бұл доғаның массасы үшін

жуық өрнек тауып аламыз, ал ізделіп отырған бүкіл масса үшін

өрнегі табылады.

Осы қосындының нольге ұмтылғандағы шектеулі шегін фукнкциясынаң қисық бойынша немесе С жолы бойынша алынған бірінші типті қисық сызықты интегралы деп аталады және

символымен белгіленеді. Мұндағы s доғаның ұзындығы және ds шамасы элементар ұзындықтардың жүреді.

Сөтіп, материалдық қисықтың массасы үшін жоғарында табылған өрнекті былай қайта жазуға болады:

Енді С қисығы еркінше параметрлік теңдеулермен берілсін

мұндағы және функциялары өздерінің және туындыларымен бірге үздіксіз және қисықтың еселік нүктелері жоқ деп ұйғарамыз. Сонда қисық әдейі түзуленуші болады егер t параметрдің өсуіне s= = s(t) доғаның өсуі сәйкес келсе, онда

болады. Және

Сонымен бірінші типті қисық сызықты интегралды есептеу үшін интеграл астындағы функцияда х және у айнымалылардын координаталардың параметр арқылы өрнектерімен, ал ds көбейткішті параметрдің функциясы түрде доғаның дифференциалымен ауыстыру керек.

Айқындалған y=y(x) (a x b) теңдеумен берілген қисық болған жағдайда формула мына түрге келеді

 

2. Екінші типті қисық сызықты интегралдар. (AB) жай қисық берілсін және тағы оның бойында кейбір f(x,y) функциясы берілсін болсын. Қисықты нүктелермен бөлімшелерге бөліп, қысықтың кесіндісінен еркінше нүктесін таңдап аламыз және бұрын жасағанымыз сияқты осы нүктедегі функцияның мәнін есептейміз. Бірақ бұл мәнді бұл жолы доғаның ұзындығына көбейтпей, оның, айталық х осіндегі проекциясына, яғни -ге көбейтеміз. Содан кейін

интегралдық қосындыны құрамыз.

0- ге ұмтылғандағы осы қосындының шектеулі I шегін f(M)dx- тің қисықтын бойымен алынған немесе (AB) жол бойынша алынған екінші типті қисық сызықты интегралы деп атайды және

символмен белгілейді.

Осыған ұқсас, мәнді -ге көбейтпей, -ге көбейтіп, яғни доғаның у осіндегі проекциясына көбейтіп және

қосындыны құрып, осының шегі түрінде f(M)dy – тің екінші типті қисық сызықты интегралын тауып аламыз

Бұл интегралдардың қосындысың қисық сызықты интеграл деп атайды және мына түрде жазады

С =(AB) қисығы параметрлік теңдеулермен берілген болсын. Онда қисық сызықты интегрлады мына формуламен есептейді

 

Енді интеграл айқындалған y=y(x) теңдеумен берілген қисықтың бойымен алынған болсын және де а-дан b – ге дейін х өзгерегенде нүктенің қисықтың бойымен жылжуы А – дан В- ге дейін болатын болсын.