Задача I.
Вычислить неопределённые интегралы:
Решение:
Сделаем замену 
, отсюда 
Возвратившись к старой переменной, имеем:
Интегрируем «по частям»: 
Пусть 
, тогда 
имеем
Интеграл 
вычислим, снова применяя формулу интегрирования по частям.
Пусть 
, тогда
Таким образом, исходный интеграл равен:
Задача II.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж области.
Решение:
Если кривая имеет уравнение 
, то площадь, ограниченная этой кривой и отрезком 
, принадлежащим оси 
, вычисляется по формуле:
Найдём точки пересечения параболы и прямой:
Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках 
Площадь заштрихованной фигуры можно найти как разность площадей треугольника 
и фигуры, ограниченной кривой 
, осью и прямой 
.
Следовательно,
Задача III.
Решить дифференциальное уравнение 
Решение:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:
Заметим, что 
является решением данного уравнения, так что в общем решении можно полагать 
Задача IV. Решить дифференциальное уравнение 
Решение:
Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим 
соответственно на 
.
Характеристическое уравнение имеет вид: 
При нахождении решения общего однородного уравнения 
удобно использовать схему:
| Решения однородного уравнения |
| 
|
| 
|
| 
|
Характеристическое уравнение 
имеет два неравных действительных корня:
Задача V.
Исследовать на сходимость ряд:
Решение:
Исследовать на сходимость ряд:
Воспользуемся признаком Д’Аламбера:
Пусть 
- строго знакоположительный ряд
Тогда:
Заметим, что при 
ряд может либо сходиться, либо расходиться, поэтому необходимо дополнительное исследование.
Имеем:
Ряд сходится.
Задача VI.
Решить систему кравнений:
а) методом Крамера,
б) методом Гаусса.
Решение:
а) методом Крамера.
Найдём определители:
r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
Теперь находим 
Итак, 
б) метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы и путём элементарных преобразований приведём данную матрицу системы к треугольному виду (под главной диагональю нули).
(для упрощения вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки; умножим 1-ю строку на –2 и прибавим ко 2-ой строке, 1-ю строку прибавим к 3-ей строке)
(2-е уравнение разделим на -7)
(2-ю строку умножим на –1 и прибавим к 3-ей строке)
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
Итак,
