Методические указания по выполнению контрольной работы №2

Задача I.

Вычислить неопределённые интегралы:

Решение:

Сделаем замену , отсюда

Возвратившись к старой переменной, имеем:

 

Интегрируем «по частям»:

Пусть , тогда

имеем

Интеграл вычислим, снова применяя формулу интегрирования по частям.

Пусть , тогда

Таким образом, исходный интеграл равен:

Задача II.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж области.

Решение:

Если кривая имеет уравнение , то площадь, ограниченная этой кривой и отрезком , принадлежащим оси , вычисляется по формуле:

Найдём точки пересечения параболы и прямой:

Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках Площадь заштрихованной фигуры можно найти как разность площадей треугольника и фигуры, ограниченной кривой , осью и прямой .

Следовательно,

Задача III.

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:

Заметим, что является решением данного уравнения, так что в общем решении можно полагать

Задача IV. Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим соответственно на .

Характеристическое уравнение имеет вид:

При нахождении решения общего однородного уравнения удобно использовать схему:

	Решения однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет два неравных действительных корня:

 

Задача V.

Исследовать на сходимость ряд:

Решение:

Исследовать на сходимость ряд:

Воспользуемся признаком Д’Аламбера:

Пусть - строго знакоположительный ряд

Тогда:

Заметим, что при ряд может либо сходиться, либо расходиться, поэтому необходимо дополнительное исследование.

Имеем:

Ряд сходится.

Задача VI.

Решить систему кравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса.

Решение:

а) методом Крамера.

Найдём определители:

r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Теперь находим

Итак,

 

б) метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и путём элементарных преобразований приведём данную матрицу системы к треугольному виду (под главной диагональю нули).

(для упрощения вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки; умножим 1-ю строку на –2 и прибавим ко 2-ой строке, 1-ю строку прибавим к 3-ей строке)

(2-е уравнение разделим на -7)

(2-ю строку умножим на –1 и прибавим к 3-ей строке)

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

Итак,