Методические указания по выполнению контрольной работы №1.

Задача I.

Вычислим пределы:

s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>4x+1</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:e></m:func><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Решение:

 

Задача II.

Найти первую производную функцию

Решение:

Задача III.

Исследовать функцию и построить ее график.

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции .

2. В случае, если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечётной. Затем проверить, не является ли она периодической (в любом случае).

3. Найти нули и промежутки знакопостоянства функции; выяснить поведение функции на концах промежутков знакопостоянства (в том числе и в бесконечности). Найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости (вверх и вниз) графика функции, точки перегиба.

7. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Реализуем указанную схему.

1. .

2. Так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является ни четной, ни нечетной. Кроме того, она не периодична, т.е. особенность в точке не повторяется.

3. Функция обращается в нуль при и не определена при . Полученными точками область определения функции делится на три промежутка: , в каждом из которых она сохраняет определённый знак, а именно:

на имеем , т.к. (например) ;

на имеем , т.к. ;

на имеем , т.к. .

Далее имеем:

Последнее означает, что в точке имеется двухсторонний бесконечный разрыв.

4. Так как в точке функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Отсутствие конечного предела при означает отсутствие горизонтальных асимптот. Для отыскивания асимптот найдём следующие пределы:

Таким образом, прямая служит наклонной асимптотой графика.

5. Дифференцируя данную функцию, получим:

Производная обращается в нуль при и не определена при . Этими точками числовая ось делится на четыре промежутка: . Выясним знак в каждом из них:

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

В точке функция имеет максимум .

В точке функция имеет минимум .

6. Дифференцирую дважды данную функцию, получим:

На числовой оси укажем интервалы знакопостоянства второй производной и выпуклости функции.

 

Точек перегиба нет, т.к. - точка разрыва функции .

7. Используя полученные данные, строим график функции.

 

Контрольная работа №2

I. Найти неопределённый интеграл:

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

II. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж.

III. Найти общее решение дифференциального уравнения:

IV. Найти общее решение дифференциального уравнения

Вариант 1. y''-2y' = 0 Вариант 6. y''+2y'-3y = 0

Вариант 2. 4y''+16y'+15y = 0 Вариант 7. y''-4y' = 0

Вариант 3. y''-4y'+4y = 0 Вариант 8. y''+2y'+y = 0

Вариант 4. y''+3y' = 0 Вариант 9. y''-3y'-10y = 0

Вариант 5. y''-3y'+2y = 0 Вариант 10. y''-5y'+6 = 0

V. Исследовать ряд на сходимость:

VI. Решить систему уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гауса.

 

 

s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">