Завдання на лабораторну роботу. Інтерполяційні поліноми Лагранжа

Лабораторна робота № 5.

Інтерполяційні поліноми Лагранжа. Сплайн-інтерполяція.

Мета роботи: познайомитися з методами інтерполяції складних функцій, реалізувати заданий за варіантом метод інтерполяції у середовищі МatLAB.

 

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтерполяції (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

 

Інтерполяційний поліном Лагранжа. Французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736-1813 р.р.) запропонував для побудови інтерполяційних поліномів наступний метод. Для двох вузлових точок (х₀, у₀), (х₁, у₁) він записав:

(5.2)

Відношення при у_і називаються коефіцієнтами Лагранжа. Побудуємо коефіцієнти Лагранжа для n точок. Особливість їх побудови полягає у виключенні з ряду різниць, що перемножуються у чисельнику і знаменнику, різниці зі значенням х_і після знаку “–”. Для n точок коефіцієнт Лагранжа запишемо у загальному вигляді так:

(5.3)

Інтерполяційний поліном Лагранжа має вигляд:

(5.4)

Він дозволяє досить просто побудувати наближення функції по відомим вузловим точкам.

При сплайн-інтерполяції зберігається умова проходження наближуючої функції через вузлові точки. Сплайн (spline) переводиться з англійської, як глучка лінійка. Сплайн-функції різняться ступенем поліному, що зображає функцію. Сутністю сплайн-інтерполяції є моделювання фрагментів заданої функції рядом поліномів низького ступеню. Прикладом такого інтерполювання є кусково-лінійне інтерполювання (рис. 5.1), де кожна з функцій будується по двом сусіднім вузловим точкам. Такий же принцип побудови зберігається і для формування поліномів вищих порядків, тільки кількість точок, на основі яких будується кожен з поліномів може бути більшою. Так, наприклад, для кусково-квадратичного поліному на проміжку [ x₀, x_N ] береться кожен інтервал [ x_2k, x_2k+2 ] для побудови на ньому квадратичного поліному. Але при побудові такого сплайну кривизна в парних вузлах різко змінюється, що відбивається на якості аппроксимації.

Найбільш оптимальною на даний момент є кусково-кубічна сплайн-інтерполяція. Вона широко застосовується у системах комп‘ютерної графіки та системах проектування з використанням комп‘ютера (CAD-системах).

За допомогою цього виду інтерполяції можливо побудувати гладку криву, що проходить через задані точки.

Загальний вираз для кубічної сплайн-функції S_k(x) має вигляд:

, (5.5)

кубічний поліноми для утворення сплайн-функції будується по трьом сусіднім точкам за загальною формулою:

(5.6)

де h_k = x_k+1 - x_k, m_k = S’’(x_k), u_k = 6(d_k – d_k-1), де в свою чергу d_k = (y_k+1 – y_k)/h_k.

При отриманні сплайн функції будуються N-1 рівнянь з N+1змінними. Для їх розв‘язання систему треба доповнити двома додатковими рівняннями. В якості таких рівнянь вибирають обмеження в крайніх точках сплайну (див. табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Обмеження в крайніх точках кубічного сплайну.

№	Тип сплайну	Обмеження в крайніх точках
	Зімкнений кубічний сплайн (найкращий, якщо відомі похідні): задається S’(x0), S’(xn)
	Природній кубічний сплайн (“релаксована крива”)	m0 = 0, mN = 0
	Екстраполювання S’’(х) в крайніх обмежуючих точках
	S’’(х) постійна біля крайніх точок	m0 = m1, mN = mN-1
	Задання S’’(х) в кожній крайній точці	m0 = S’’(x0), mN = S’’(xN)

 

Розглянемо побудову зімкненого кубічного сплайну. Якщо відома перша похідна у початковій точці, можна обчислити m₀ і перше рівняння прийме вигляд:

2(h₀ + h₁)m₁ + h₁m₂ = u₁ – h₀m₀ (5.7)

Аналогічно обчислюємо останнє рівняння:

 

h_N-2m_N-2 + 2(h_N-2 + h_N-1)m_N-1 = u_N-1 – h_N-1m_N. (5.8)

 

Отримуємо тридіагональну лінійну систему рівнянь:

 

(5.9)

 

Коефіцієнти сплайну обчислюємо за формулами:

(5.10)

Для зручності обчислень кожен кубічний сплайн доцільно записувати у формі вкладених перемножень:

 

(5.11)

 

Завдання на лабораторну роботу.

 

Побудувати поліном Лагранжа для функції заданої таблично (відповідно до варіанту). Побудувати по цим же точкам кубічний сплайн. Побудувати функції для обох поліномів і на окремому графіку – функцію, що зображає різницю занчень у невузлових точках (прораховувати значення не менш, як у 3-х невузлових точках між кожними двома вузлами).

 

Варіант	Координати вузлових точок	Тип кубічного сплайну
	(1, 3)	(3, 7)	(6, 9)	(10, 8)	(14, 11)	Зімкнений

Лістинг програми

 

Функція обчислення поліному Лагранжа:

function f = Lagrange(X,Y,t)

f = 0;

n = 5;

for i = 1:n

l=1;

for j = 1:n

if not (j==i)

l = l*(t-X(j))/(X(i)-X(j));

end

end

f = f+l*Y(i);

end

Функція побудови графіка за допомогою полінома Лагранжа та сплайн інтерполяції:

function PlotAll(X,Y,k)

step = (X(5)-X(1))/k;

H(1) = X(1);

S(1) = Spline(X,Y,H(1));

L(1) = Lagrange(X,Y,H(1));

for i = 2:k+1

H(i) = H(i-1)+step;

S(i) = Spline(X,Y,H(i));

L(i) = Lagrange(X,Y,H(i));

end

plot(H,S,'r',H,L,'b',X,Y,'black')

Функція обчислення кубічної сплайн-функції:

function s=Spline(X,Y,x)

 

dx0 = (Y(2)-Y(1))/(X(2)-X(1));

dxn = (Y(5)-Y(4))/(X(5)-X(4));

 

for i = 1:4

H(i) = X(i+1)-X(i)

D(i) = (Y(i+1)-Y(i))/H(i)

if i~=1

U(i) = 6*(D(i)-D(i-1))

end

end

U(1) = (3/H(1))*(D(1)-dx0)

U(5) = (3/H(4))*(dxn-D(4))

 

A = zeros(5)

A(1,1) = H(1)+H(2)

A(1,2) = (H(1)+H(2))/2

for i = 2:4

A(i,i-1) = H(i-1)

A(i,i) = 2*(H(i-1)+H(i))

A(i,i+1) = H(i)

end

A(5,4) = (H(1)+H(2))/2

A(5,5) = H(1)+H(2)

 

M = U/A

 

for k = 1:4

if (x<=X(k+1))

break

end

end

 

w = x-X(k)

s0 = Y(k)

s1 = D(k)-H(k)*(2*M(k)+M(k+1))/6

s2 = M(k)/2

s3 = (M(k+1)-M(k))/(6*H(k))

s = ((s3*w+s2)*w+s1)*w+s0

 

Результати роботи програм

На рис.1 наведені графіки функцій, отриманих в результаті застосування сплайн інтерполяції та поліному Лагранжа щодо вихідних даних. Червоним кольором позначена функція сплайн інтерполяції, червоним – Лагранжа. На рис.2 наведено графік різниці функцій Лагранжа та сплайн інтеополяції.

Рис.1. Отримані графіки

Рис.2. Різниця значень

Висновок: на цій лабораторній роботі було розглянуто методи інтерполяції складних функцій, було побудовано функції за заданими вузловими точками.