. - .
e . ң
ү ү ң e , ғ . e- ә ң қ ә e =2.71828128.....
. . (**)
(**)- 2- .
(**) , ¥ Þ a0 (a¹0) , ғ : . e-c ғ :
1) .
2) e .
3) .
3') .
4)
5)
6)
ә ғ ғ ғ , ү қғқ .
ұ қғқ ү, ң ә ө қ ү ү .
.
.
, , ғ, (ұ ү ңң ү).
,
.
. ң e қ, ұ қ, . (1550-1617)- ғқ ң .
=ey , y- ң қ , y=lnx (y=logex ң ).
ң қ қ ң .
y=lgx, =10y , ln x=y× ln10, .
, lgx=×lnx . - .
, ң қ , ң қ ө қ .
ң .
қ. үң өң ү қ . ә e>0 ү dң , x -ң ң қғ қ әү, ң , -ң -ғ ұғғ ң ( ү) .
қғ ң ң қ , қ -ғ қ үңң қ .
-ғ ұғ, ң ә -ғ ұ,
.
қғ ә , ¥ ү.
-ң ң , - ү , ұ
|
|
.
ә e>0 ү , ү ғ ң , .
-ң ң , .
ң ң қ ғ ққ. қ . ұ , e>0 ү d>0 , ң қғ қ ү ң ө.
қ қ: x -ң ң қғ қ ә ә (x) ң қ ә ң қғ . b - ң -ғ ұғғ ү . ү қ , үң өң ң ғ (ғ d>0 ). , ңқғ қғң қ ү
, ү ( -ғ ң ү ғ қ қ ү). ң қғ d>0 e ә, қ e ө d ө. ққ.
1) ө .
e>0 . ғ ә -ң
(*)
ң қғ қ ә ү
(**)
ң, ғ ң d>0 қ. (*)- ң ғ. ,
. (***)
(**) (***)- қғ : d d(5+d)=e қғ қ, (*) ң (***) .
, ә.
2) ә .
e>0 c . ң қғ ң N .
, . Cқ ғ ң . ұ . , қ, ғ ң, ғ қ.
. ұғ, x -ң -ғ ұ - ә қ қ ғ , , ң ү қ .
- ү ә қ , , - ң ү ң қ .
. -ң қ ғ қ ә ү ң , қ ғ . .
|
|
ң
қ. үң өң ү қ . ә e>0 ү d ң , x -ң ң қғ қ ә ү, ң , -ң -ғ ұғғ ң ( ү) .
қғ ң ң қ , қ -ғ қ үңң қ .
-ғ ұғ, ң ә -ғ ұ,
.
қғ ә , ¥ ү.
-ң ң , - ү , ұ
.
ә e>0 ү , ү ғ ң , .
-ң ң , .
ң ң қ ғ ққ. қ . ұ , e>0 ү d>0 , ң қғ қ ү ң ө.
қ қ: x -ң ң қғ қ ә ә (x) ң қ ә ң қғ . b - ң -ғ ұғғ ү . ү қ , үң өң ң ғ (ғ d>0 ). , ң қғ қғң қү , ү ң ( -ғ ң ү ғ қ қ ү). ң қғ d>0 e ә, қ e ө d ө. ққ.
1) ө .
e>0 . ғ ә -ң
(*)
ң қғ қ ә ү
(**)
ң, ғ ң d>0 қ. (*)- ң ғ. ,
. (***)
(**) (***)- қғ : d d(5+d)=e қғ қ, (*) ң (***) .
, ә.
2) ә .
e>0 c . ң қғ ң N .
, . Cқ ғ ң . ұ . , қ, ғ ң , ғ қ.
. ұғ, x -ң -ғ ұ - ә қ қ ғ , , ң ү қ .
|
|
- ү ә қ , , - ң ү ң қ .
. -ң қ ғ қ ә ү ң , қ ғ . .
ә ң қ
қ. , x ¥ ғ .
ң қ ү, ғғ қ ұғ : - e>0 ү ң x -ң ә ү ң d , a(x) (x ).
.
1) a(x)=(x-2)2, x 2- ұғ , ө .
2) a(x)= , ¥ ғ , ө .
. b a-ң қ ң , ғ y=b+a , lm y=b (xa ¥) . , , ғ . ұғ a .
. -ғ ұғ a(x) ұ, y= ү ғ ұ.
. ( ) ң қ қ .
. a(x)-ң g(x) ө (x , x¥) .
. lm a(x)=0, lm b(x)=0 , lmab=0.
. lm a(x)=0, c=const , lm ca=0.
. lma(x)=0, lmb(x)¹0 a(x)b-1(x)- .
. ( ) ң қң ң ң қ ң
lm(u1+u2+...+u k) = lm u1+lm u2+...+lm u k.
. ( ) ңөң ң ңө ң:
lm(u1u2...u k)=lm u1lm u2... lm u k.
. .
. u(x), ә v(x) ң ә ә ң қғ ә u(x) v(x) - b ұ, - ұ.
. -ғ ( ¥-) ұғ ұ, - .
. ү , ғ , ұ ң , ғ ә .
ү ғ ұқ .
ң
ү қғқ .
. . (*)
(*) 1- .
ғғ, қ ң ( ң ө ә) :
1) .
2) .
3) .