Монотонды тізбектер саны. е- саны.
e саны. 
функциясының 
шегі
Жалпы мүшесі 
түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни 
. e-саны иррационал сан және оның жуық мәнімынадай e =2.71828128.....
Теорема. 
. (**)
(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.
Егерде (**) формулада 
десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: 
. e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:
1) 
.
2) 
e 
.
3) 
.
3') 
.
4) 
5) 
6) 
Егерде 
шегін 
және 
болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда 
түріндегі анықталмағандық алар едік.
Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның 
негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы 
қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек.
Мысалы.
.
Осыдан, , жағдайда, мына формула табылады 
(бұл жерде үзіліссіз функциялардыңкомпозициясының үзіліссіздігіпайдаланылды).
Мысал келтірейік,
.
Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.
Егер х=ey болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=logex деудің орнына).
Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.
Егер y=lgx, не х=10y болса, оны е негізінде логарифмдесек ln x=y× ln10, 
.
Егер 
десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.
Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.
Функцияның шегі.
Анықтама. 
функциясы нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e>0 үшін dоң саны табылып, x -тің 
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндеріүшін, мына 
теңсіздік орындалса, 
шамасы 
-тің 
-ға ұмтылғандағы 
функциясының ( 
нүктесіндегі) шегі деп аталады.
Осы анықтамадағы 
шамасының функцияның анықталу облысына кіруішарт емес, бірақ 
-ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруішарт.
Егер 
шамасы 
-ға ұмтылғанда, 
функциясының мәні 
-ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз
.
Анықтамадағы және 
шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да мүмкін.
Егер 
-ның шамасы 
символдарының бірі болса, 
- шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз
.
Егер әрбір e>0 үшін 
саны табылып, 
үлкен болғанда 
теңсіздігі орындалса, 
деп жазамыз.
Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, 
деп жазамыз.
Ендіфункцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық 
делік. Бұлай деу, берілген e>0 үшін d>0 саны табылып, 
теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық 
үшін 
теңсіздігі орындалады деген сөз.
Басқаша айтқанда: аргумент x -тің 
теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін ¦(x) функциясының барлық мәндері 
теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b -саны 
функциясының х шамасы -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. 
түзулер шектеген алап қандай болса да, 
нүктесінің төңірегіне 
маңайын салуға болады (яғни d>0 саны табылады). Олай болса, абсциссалары теңсіздіктерінқанағаттандыратын 
қисығының барлық нүктелері
, 
түзулері шектеде жатады (тек абсциссасы -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін). Функция шегінің анықтамасындағы d>0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді. Бірнеше мысалдар қарастырайық.
1) 
болатынын көрсету керек.
Алдын ала e>0 саны берілсін. Оған сәйкес 
-тің
(*)
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін
(**)
теңсіздігі, яғни 
теңсіздігі орындалатын d>0 санын табайық. Ал (*)-дан 
теңсіздігі шығады. Демек,
. (***)
(**) мен (***)-дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d)=e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) теңсіздігіорындалысымен (***) да орындалады.
Сонымен, екендігі дәлелденеді.
2) 
екендігін дәлелдеу керек.
Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент 
теңсіздігін қанағаттандырысымен 
теңсіздігіорындалатындай N санын іздеуіміз керек.
Ал, 
. Cондықтан 
болғанда 
теңсіздігі орындалады. Бұдан 
. Демек, егер 
деп алсақ, 
болғанда 
теңсіздігіорындалатыны, яғни 
болатыны айқын.
Ескерту. Егер функциясы 
шамасына ұмтылғанда, x -тің -ға ұмтылуы тек -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып 
, 
ді функцияның нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.
Егер х тек -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып 
, 
-ні функцияның нүктесіндегі оң жақты шегі дейді.
Ескерту. Егер аргумент х -тің берілген анықталу облысындағы барлық мәндері үшін 
теңсіздігіорындалатындай М саны табылса, функциясы қарастырылып отырған облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция берілген облыста шектелмеген делінеді.
Функцияның шегі
Анықтама. функциясы нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e>0 үшін d оң саны табылып, x -тің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін, мына теңсіздік орындалса, шамасы -тің -ға ұмтылғандағы функциясының ( нүктесіндегі) шегі деп аталады.
Осы анықтамадағы шамасының функцияның анықталу облысына кіруі шарт емес, бірақ -ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруі шарт.
Егер шамасы -ға ұмтылғанда, функциясының мәні -ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз
.
Анықтамадағы және шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да мүмкін.
Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, - шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз
.
Егер әрбір e>0 үшін саны табылып, үлкен болғанда теңсіздігі орындалса, деп жазамыз.
Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, деп жазамыз.
Ендіфункцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық делік. Бұлай деу, берілген e>0 үшін d>0 саны табылып, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады деген сөз.
Басқаша айтқанда: аргумент x -тің теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін ¦(x) функциясының барлық мәндері теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b -саны функциясының х шамасы -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. түзулер шектеген алап қандай болса да, нүктесінің төңірегіне маңайын салуға болады (яғни d>0 саны табылады). Олай болса, абсциссалары теңсіздіктерін қанағаттандыратын қисығының барлықнүктелері , түзулері шектеген алаптың ішінде жатады (тек абсциссасы -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін). Функция шегінің анықтамасындағы d>0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді. Бірнеше мысалдар қарастырайық.
1) болатынын көрсету керек.
Алдын ала e>0 саны берілсін. Оған сәйкес -тің
(*)
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін
(**)
теңсіздігі, яғни теңсіздігі орындалатын d>0 санын табайық. Ал (*)-дан теңсіздігі шығады. Демек,
. (***)
(**) мен (***)-дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d)=e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) теңсіздігіорындалысымен (***) да орындалады.
Сонымен, екендігі дәлелденеді.
2) екендігін дәлелдеу керек.
Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент теңсіздігін қанағаттандырысымен теңсіздігіорындалатындай N санын іздеуіміз керек.
Ал, . Cондықтан болғанда теңсіздігі орындалады. Бұдан . Демек, егер деп алсақ, болғанда теңсіздігі орындалатыны, яғни болатыны айқын.
Ескерту. Егер функциясы шамасына ұмтылғанда, x -тің -ға ұмтылуы тек -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып , ді функцияның нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.
Егер х тек -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып , -ні функцияның нүктесіндегі оң жақты шегі дейді.
Ескерту. Егер аргумент х -тің берілген анықталу облысындағы барлық мәндері үшін теңсіздігіорындалатындай М саны табылса, функциясы қарастырылып отырған облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция берілген облыста шектелмеген делінеді.
Шексіз аз шама және оның қасиеттері
Анықтама. Егер 
не 
болса, 
функциясы 
не x ®¥ болғанда шексіз аз шама делінеді.
Шектің анықтамасына сүйеніп, жоғарыдағы анықтаманы былайша тұжырымдауға болады: алдынала берілген кез-келген жеткілікті аз e>0 саны үшін 
теңсіздігі орындалатын x -тың мәндері үшін 
теңсіздігі орындалатындай d саны табылса, a(x) шексіз аз шама делінеді (x® ).
Мысалы.
1) функция a(x)=(x-2)2, x шамасы 2-ге ұмтылғанда шексіз аз шама, өйткені 
.
2) функция a(x)= 
, х®¥ болғанда шексіз аз шама, өйткені 
.
Теорема. Егер функциясы b санымен шексіз аз шама a-нің қосындысына тең болса, яғни y=b+a болса, lіm y=b (x®a не х®¥) болады. Керісінше, егер 
болса, 
деп жазуға болады. Мұндағы a шексіз аз шама.
Теорема. Егер шамасы -ға ұмтылғанда a(x) нольге ұмтылса, y= 
шексіз үлкен шамаға ұмтылады.
Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) шексіз аз шамалардың алгебралық қосындысы шексіз аз шама болады.
Теорема. Шексіз аз шама a(x)-тың шектелген g(x) функциясына көбейтіндісі (x® , x®¥) шексіз аз шама.
Салдар. Егер lіm a(x)=0, lіm b(x)=0 болса, lіmab=0.
Салдар. Егер lіm a(x)=0, c=const болса, lіm ca=0.
Теорема. Егер lіma(x)=0, lіmb(x)¹0 болса a(x)·b-1(x)-шексіз аз шама болады.
Шектер туралы негізгі теоремалар
Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) функциялардың қосындысының шегі сол функциялардың шектерінің қосындысына тең
lіm(u1+u2+...+u k) = lіm u1+lіm u2+...+lіm u k.
Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) айнымалы шамалардыңкөбейтіндісінің шегі сол шамалардың шектерініңкөбейтіндісіне тең:
lіm(u1u2...u k)=lіm u1lіm u2... lіm u k.
Теорема. 
.
Теорема. Егер u(x), 
және v(x) функцияларының сәйкес мәндері мына 
теңсіздіктерін қанағаттандырса және u(x) пен v(x) функциялары 
не 
-да бір b санына ұмтылса, онда -те сол шекке ұмтылады.
Теорема. Егер шамасы -ға (не ¥-ке) ұмтылғанда теріс емес функциясы 
шегіне ұмтылса, онда -нольден кіші болмайды.
Теорема. Егер үдемелі айнымалы шама 
шектелген шама, яғни 
болса, онда бұл айнымалы шаманың шегі бар, яғни 
болады және ол 
.
Кемімелі айнымалы шама үшін де осыған ұқсас теорема орындалады.
функциясының 
шегі
функциясы 
да 
түріндегі анықталмағандықты береді.
Теорема. 
. (*)
(*) формуласын 1-ші тамаша шек деп атайды.
Есеп шығарғанда, бізге қажет болатын маңызы зор бірнеше шектерді (бірінші тамаша шектің көмегімен дәлелденетін) келтірейік:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
