Тізбек шегінің анықтамасы.

 

Тізбек және оның шегі ұғымдары математиканың ішкі проблемаларымен қатар оны қолдану жолдарында пайда болады. Мысалы, біз үшбұрыштың ауданының анықтамасын және оны есептеу жолын біле тұра, радиусы R-ге тең дөңгелектің ауданы деген не және оны қалай табуға болады деген сұрақта қарастырайық.

Әрбір n ³ 2 үшін радиусы R-ға тең дөңгелекке 2 n бұрышты дұрыс көпбұрыш Sn –ді іштей сызсақ, онда олардың аудандары хп тізбегін құрайды. Бір жағынан п өскен сайын Sn фигурасы дөңгелекке ақырсыз жақындай түседі, екінші жағынан кез келген п үшін Sn фигурасы дөңгелекпен дәл беттеспейді. Онда дөңгелектің ауданы дегеніміз не?

Бұл сұраққа жауап беру үшін тізбектің шегі ұғымын енгізуіміз қажет. Шек ұғымының негізі мағынасы мынада: номері өскен сайын тізбектің мүшелері қандай да бір санға ақырсыз жақындайды. Сол санды тізбектің шегі деп аталады.

Анықтама. Егер бізге қалағанымызша аз e оң саны берілсе және айнымалы шама -тің бір мәнікөрсетіліп, одан кейінгі мәндерінің бәрі мына

теңсіздікті қанағаттандырса,түрақты саны айнымалы тің шегі

делінеді де, былайша жазылады: Сандар тізбегі үшін бұл анықтаманы былайша айтуға болар еді.Егер де алдын ала кез келген аз eоң саны берілсе, теңсіздігі нөмірден бастап орындалатын болса, онда түрақты сан -ны тізбектің шегі дейді де cимволымен жазады. Мұндағы lіm латын тіліндегі lіmes (шек) деген сөзден қысқартылып алынған. Бұл жағдайды былайша: тізбегі түрақты санына ұмтылады деп те айтады және былай жазады:

;тізбекті санына жинақталады деп те атайды.

Мысалы. 1) жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі -ке ұмтылады.

Шынында, алдын ала санын алып, теңсіздігі номерінің қай мәнінен бастап орындалатынын анықталық. Бұл теңсіздікті мына түрге түрлендіреміз бұдан .

Демек, болғанда, анықтамаға сәйкес қарастырылып отырған тізбектің шегі болады.

2) Тізбектің жалпы мүшесі былай берілсе, бұл тізбектің шегі бірге тең.

Шынында, кез-келген e>0үшін теңсіздігі болғанда орындалады.

Бұдан кез келген тізбектің шегі болады деген ұғым тумауы керек.

Мысалы. Тізбектің мүшелері мына формулалармен берілсе

мұнда k-ның үлкен номерлерінен бастап, жұп номерлі мүшелерінің нольден айырмашылығы керегінше аз болады да, тақ номерлері мүшелерінің бірден айырмашылығы аз болады. Сондықтан тізбектің шегі болмайды.

Анықтама. Егер алдынала берілген әрбір оң сан М үшін айнымалы -тің бір мәнікөрсетіліп және кейінгі мәндерінің бәрі мына теңсіздікті қанағаттандырса, шексіздікке ұмтылады дейміз. Бұндай айнымалы шаманы шексіз үлкен айнымалы шама деп, cимволымен белгілейді.

Мысалы. тізбегі шексіздікке ұмтылады.

e саны. функциясының шегі

Жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни . e-саны иррационал сан және оның жуық мәні мынадай e=2.71828128.....

Теорема. . (**)

(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: . e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) .

2) e .

3) .

3') .

4)

5)

6)

 

Егерде шегін және болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда түріндегі анықталмағандық алар едік.

Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның

негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы

қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек.

Мысалы.

.

Осыдан, , жағдайда, мына формула табылады

(бұл жерде үзіліссіз функциялардың композициясының үзіліссіздігі пайдаланылды).

Мысал келтірейік,

.

Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.

Егер х=e^y болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=log_ex деудің орнына).

Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10^y болса, оны е негізінде логарифмдесек ln x=y× ln10, .

Егер десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.