Лаплас түрлендірілуі.

АРЖ зерттеу қолданбалы математикалық әдістердің оперативтті есептелуімен жеңілдетеді. Мысалы, кейбір жүйені функционирлеудің дефференциалды теңдеуі келесі түрде болады

, (3.1)

Мұнда х және у – кіріс және шығыс шамалар. Егерде берілген теңдеуде x(t) және y(t) орнына X(s) және Y(s) функциясын қойсақ және айнымалы комплексті s қойылса, онда

және , (3.2)

Онда шығыс дефференциалды теңдеу нөлдік шартында алгебралық теңдеулерге теңгеріледі.

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Мұндай ДТ ден алгебралық теңдеулерге өтуін Лаплас түрлендірілуі деп атайды, формулалар (2.2) Лапласа түрлендіру формулаларына сәйкес ал алынған теңдеулерді - операторлық теңдеулер.

Жаңа функциялар X(s) және Y(s) бейнеленуі деп атайды x(t) және y(t) Лаплас бойынша, ал x(t)және y(t) нақты болып табылады ол X(s) жәнеY(s) қатынасына сәйкес болады.

Кері байланыс үшін операторлы теңдеулерден уақытаралықтан функцияға өту үшін келесі Лапластың кері түрлендірілуі әдісті қолданады. Кері Лапласты түрлендірілуідің жалпы формуласы:

, (3.3)

мұнда f(t) - нақты, F(jw) - s = jw кезінде бейнелеу, j - бірлігі, w -жиілік.

Бұл формула күрделі, сондықтан да арнайы кестелер келтірілген (кесте. 1.1 және 1.2), мұнда көбінесе кездесетін F(s) пен f(t) нақты функциялар келтірілген. Бұлар тура формуланы қолдануға мүмкіндік бермейді (2.3).

Кесте

Лаплас түрлендіруі

Нақты x(t)	Бейнеленуі X(s)
d-функция

t
t²
tⁿ
e^-^a^t
a^.x(t)	a^.X(s)

x(t - a)	X(s)^.e^-^a^s
	s^n.X(s)

Кесте

Лаплас кері түрлендірудің формулалары (қосымша)

Бейнелену X(s)	Нақтыx(t)
	a Î R, M Î R (a и М – тура сандар)	M^.e^-^a^t
a = a₁ + j^. a₂ M = M₁ + j^.M₂ (a и М - кешенді)	2^.e^-^a^1t.[M₁^.cos(a₂^.t) - M₂^.sin(a₂^.t)]

Кіріс сигналдың өзгеру заңы көбінесе функция болып табылады, оны табу қажет, ал кіріс сигнал бізге белгілі. Кейбір типті кіріс сигналы 2.3 бөлімінде айтылып кеткен. Мұнда олардың бейнеленуі келтіріледі.

Біріншілік сатылы әркеттер келесі бейнеден тұрады X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

сызықты әркет X(s) = .

Мысал 5. Лаплас түрлендіруді қолдануымен ДТ шешу.

Егер де кіріс сигнал бірінішілік сатылы әрекеттің формасынан тұрса x(t) = 1, онда кіріс сигналдың бейнеленуі X(s) = түрде болады.

Бастапқы ДТ түрлендіруін енгізіп, X(s) қоямыз:

s²Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s²Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,

Y(s³ + 5s² + 6s) = 2s + 12.

Y үшін теңдеуді анықтаймыз:

Алынған функцияның нақтысы бейнелеу мен нақты кестеге сәйкес келеді. Тапсырманы шешу үшін бөлшекті қарапайым бөлшектің қосындысына бөлінеді де, бөлшектің бөлімі келесі түрде болады (s + 2)(s + 3):

= = + + =