Дифференциалды теңдеу. Сызықтау

Кез келген қозғалыс, ауыспалы процес, алмасу, энергия мен заттың түрлендірілуі дифференциалды түрде жазуға болады. (ДТ). Кез келген АРЖ процесін де дефференциалды теңдеу ретінде жазуға болады, ол жүйеде құрылымынан бөлек үрдістердің негізін анықтайды. ДТ шешу арқылы, жүйеге әртүрлі әрекеттердің кезінде тұрақталған әрі ауыспалы режимде реттелетін айнымалылардың өзгеруін табуға болады.

Дуфференциалды теңдеулерді табудағы тапсырмаларды жеңілдету үшін яғни АРЖ жұмысын толығымен сипаттайытн, жүйені жеке элементтерге бөліп, ауыспалы үрдістерді қарапайым түрде дефференциалды теңдеулермен жазып щығады. Дефференциалды теңдеуді жүріп жатқан процестің физикалық қасиетінен бөлек сипаттауда жазып алу кезінде жүйені бөлу кезінде оның физикалық тұтастылығын қарастыру қажет етпейді.

Құрылымдық схемадағы әр элемент үшін ДТ құру қажет, ол кіріс пен шығыс щамаларының тәуелділігін анықтайды.

Алдынғы элементтің шығыс шамасы кедлесіге кірісі болып табылғандықтан жеке элементтің ДТ анықтап алып, жүйенің ДТ табу қажет.

Бірақта, мұндай әдіс жеке жағдайда ғана қолайлы. Өйткені, көбіне жағдайда элементтер арасында кіріс пен шығыс шамалар арасында байланыстар сызықсыз болып, графикалық түрде беріледі

Сондықтан да ДТ алынғанымен ол сызықссыз болып табылады. Ал сызықты емес аналитикалық шешімдерді табу бола бермейді.

Осындай қолайсыз жағдайларды табу үшін барлық өзгертілетін шамалардың ауытқуын реттеу процесінде мәндері аз, сондықтан ДТ сызықсыз жағдайын сызықтыға өткізіп дифференциалды теңдеулердің сызықтандыруы өткізілуі мүмкін.

Келесіде сызықтандыру процесінің негізін кептіргіш шкафта қарастырайық. Нысаның температуралық қасиеті берілген кернеуде сызықсыз болып келесі түрде бейнеленеді.

Т

U

U0

Т0

объект

модель

2.5 -сурет

Сызықтандырудың графигін (х₀, у₀) нүктесінде екі айнымалылардың теңдеуінен F(х,у) = 0 қисық сызығын жанама бөлігіне ауыстыруын қарастыруға болады. (сурет 1.14), теңдеулері формула бойынша:

,

 

мұнда және - туындылар F тен х және у. Берілген теңдеулерді көбею деп атап, оның мәндері х және у мәндері Dх = х - х₀ и Dу = у - у₀ ауыстырылады.

ДТ сызықтандыру үйлесімді жүреді, тек оны туындыларын табу қажет болады. (, , т.б.).

Мысал 4. Сызықты емес Дефференциалды теңдеуді сызықтандыру

3xy - 4x² + 1,5 y = 5 + y

Берілген ДТ сызықты емес өйткені айнымалылар х және у сызықсыз Оны х₀ = 1, = 0, = 0 у координаттарындағы нүтесінде сызықтандырамыз Бастпақы шарты у₀ анықтау үшін ДТ мәндерін қоямыз:

3у₀ - 4 + 0 = 0 + у₀ бұдан у₀ = 2.

Қарастырылған функцияны енгіземіз

F = 3xy - 4x² + 1,5x’y - 5y’ - y

Бастапқы шарттағы туындыларды анықтаймыз:

= (3у - 8х = 3*2 - 8*1 = -2,

= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,

= (1,5у = 1,5*2 = 3,

= -5.

Енді,алынған коэффициенттерді қолданып, соңғы сызықты ДТ жазуға болады:

-5^.Dy’ + 2^.Dy + 3^.Dх’ - 2^.Dх = 0.

 

Дәріс 3. Лаплас түрлендіруі. Беріліс функция. Беріліс функцияны анықтау. Типті тізбектердің мысалдары. Тізбектердің қосылысы.