Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

.

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0; 1]

.

2. Интегральная функция является неубывающей функцией, т.е. .

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, заключенные в интервале (a; b), равна приращению интегральной функции на этом интервале .

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значения, например х₁, равна нулю

.

5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a; b), то .

6. Справедливы следующие предельные соотношения:

.

Дифференциальной функцией распределения вероятностей (плотности вероятностей) называют первую производную от интегральной функции:

.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х принимает значение, принадлежащие интервалу (a; b) определяется равенством

.

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле

.

Дифференциальная функция обладает следующими свойствами:

1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

,

где f(x) – дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то

.

Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины называют то её возможное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции.

Медианой М_е(Х) непрерывной случайной величины называют то её возможное значение, которое определяется равенством

.

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенством

,

или равносильным равенством

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

.

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определятся равенством

.

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определятся равенством

.

Очевидно, что если k = 1, то ν₁ = М(Х), μ₁ = 0, если k = 2, то μ₂ = D(X). Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

.

Равномерным называют распределение вероятность непрерывной случайной величины Х, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция постоянна и равна

,

и f(x) = 0 вне этого интервала.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, дифференциальная функция которой имеет вид

,

где μ – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β),

,

где - функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ,

.

В частности, при μ = 0 справедливо равенство

.

Мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

где μ = M(X).

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией

где λ – постоянная положительная величина.

Интегральная функция показательного распределения

Вероятность попадания в интервал (a; b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону,

.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределение соответственно равны:

Пример Построить графики плотности вероятностей и интегральной функции распределения случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 1.5).

Решение. Ф