Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины интегральной функции называют функциюF(x,y), определяемую соотношением:
Она является неубывающей функцией и обладает следующими свойствами:
1. 
при 
2. 
3. 
4. 
где FX(x) – функция распределения составляющейX, аFY(y) – составляющейY.
5.Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник 
вычисляется по формуле:
.
Плотностью совместного распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) называют вторую смешанную производную от функции распределения:
.
Свойства совместной двумерной плотность распределения аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей одной случайной величины:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Условной плотностью распределения, составляющейXпри заданном значенииY=yназывается функция
Аналогично:
Если условые плотности распределения случайных величин Х,Yравны их безусловным плотностям, то такие величины называют независимыми.
Пример 10. Задан закон распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y).
| yk xj | -1 | ||
| -2 | 0.1 | 0.2 | 0.15 |
| 0.2 | 0.1 | 0.25 |
Найти: а) законы распределения составляющих; б) условный закон распределения Xпри условии, чтоY=-2; в) условный закон распределенияY, при условии, чтоX=2.
Решение. а) Для отыскания вероятностей появления возможных значений хiпроведем суммирование вероятностей по существующим столбцам, а для yk– по строкам. Результаты вычислений занесем в таблицу. Тогда первая и четвертая строки будут определять закон распределения для X, а первый и пятый столбцы – для Y.
| N | ||||||
| yixi | -1 | P(Yk) | P(Yk/X=2) | |||
| -2 | 0,1 | 0,2 | 0,15 | 0,45 | 3/8 | |
| 0,2 | 0,1 | 0,25 | 0,55 | 5/8 | ||
| p(xi) | 0,3 | 0,3 | 0,4 | ∑=1 | ||
| P(Xi/Y=-2) | 2/9 | 4/9 | 1/3 | ∑=1 |
б) Для отыскания условных вероятностей значений X поделим вероятность совместного появления X=xi, Y=-2, на p(yk=-2)=0,45 и результат запишем в последней строке: 0,1/0,45=2/9; 0,2/0,45=4/9; 0,15/0,45=1/3.
в) Аналогично найдем условные вероятности для Y: 0,15/0,4=3/8; 0,25/0,4=5/8.
Тогда первая и пятая строки будут определять условный закон распределения для X, а первый и шестой столбцы – для Y.
Пример 11. Задана функция распределения двумерной случайной величины 
Найти: а) двумерную плотность распределения систему (X,Y); б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих; г) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами О(0,0); А(0,1); В(1,0).
Решение. а) Двумерную плотность вероятности системы найдем по формуле: 
Следовательно
б) Найдем плотность распределения составляющей X:
Для составляющей Y:
в) Условные плотности распределения равны:
Заметим, что условные плотности распределения совпали с безусловными, следовательно X и Y независимы.
г) Вероятность попадания случайной точки в область Д вычисляется по формуле: 
Область Д – треугольник ОАВ, уравнения сторон которого имеют вид: x=0; y=0; x+y=1. Тогда
12. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: f (х, у) = (1/2)sin(х+у) в квадрате 
, 
; вне квадрата f(x,y)= 0. Найти функцию распределения системы (X, Y).
13. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X, Y)
.
Найти функцию распределения системы.
Указание: использовать формулу 
14. Задана двумерная плотность вероятности 
системы (X, Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.
15. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):
| Y | X | |
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y = 10; б) условный закон распределения У при условии, что Х = 6.
16. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
17. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.
