Общее решение задачи о нахождении условной вероятности для классического определения вероятности

Пусть из единственно возможных, несовместных и равновероятных событий , , …, событию А благоприятствует m событий, событию В – k событий, событию АВ – r событий (, ). Если событий В произошло, то это означает, что наступило одно из событий , благоприятных событию В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий , благоприятных АВ. Таким образом . (1)

Аналогично, если , то . (1’)

Если В (соответственно, А) есть невозможное событие, то равенство (1) (соответственно (1’)) теряет смысл.

При каждое из равенств (1) и (1’) равносильно так называемой теореме умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: (2).

Доказательство теоремы умножения вероятностей для классической схемы случаев. Пусть из единственно возможных, несовместных и равновероятных событий , , …, событию А благоприятствует m событий, событию В – k событий, событию АВ – r событий (, ). Тогда , , а (из общего решения задачи о нахождении условной вероятности). Подставляя полученные значения вероятностей в формулу (2), получим тождество. Теорема доказана.

Замечание. Теорема умножения справедлива и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 3. В ящике находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в ящик. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный и при третьем – синий.

Решение. Пусть событие А – при первом испытании появится белый шар, событие В – при втором испытании появится черный шар; событие С – при третьем испытании появится синий шар. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, то есть условная вероятность . Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором черный: . Так как события А, В и С совместны, то искомая вероятность

.

Определение 2. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет:

(3)

(наступление события В не меняет вероятности события А).

Определение 3. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Замечание 1. Если событие А независимо от события В, то в силу (2) имеет место равенство Отсюда следует, что , (4)

Т.е. событие В также независимо от А. Таким образом, при сделанном предположении свойство независимости событий взаимно.

Замечание 2. Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и её приложениях. В практических вопросах для определения независимости событий редко обращаются к выполнению равенств (3) и (4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте (пример с монетой и др.). Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет наиболее простой вид.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

.

Замечание 3. Если независимость событий определить посредством равенства , то это определение верно всегда, в том числе и тогда, когда и .

Определение 4. События , , …, называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных , , …, взаимно независимы.

Замечание 4. В силу замечания 3 это определение эквивалентно следующему.

Определение 4’. При любых и .

Замечание 5. Для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.

Пример. Грани тетраэдра окрашены: 1-я – в красный цвет, 2-я – в зелёный, 3-я – в синий, 4-я – во все эти 4 цвета (АВС). Легко видеть, что вероятность того, что грань, на которую упадёт тетраэдр при бросании, имеет красный цвет, равна 0,5: граней 4, 2 из них имеют в окраске красный цвет. Тогда . Аналогично можно подсчитать, что

.

Таким образом, события А, В, С попарно независимы. Однако, если осуществились события В и С вместе, то и осуществилось событие А, т.е. . Следовательно, события А, В и С в совокупности зависимы.

Обобщение теоремы умножения вероятностей на случай произвольного конечного числа независимых событий: .

Пример 4. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна . Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что он попал три раза.

Решение. Пусть событие А – стрелок попал в мишень при первом выстреле, событие В – стрелок попал в мишень при втором выстреле; событие С – стрелок попал в мишень при третьем выстреле. Вероятности этих событий по условию равны между собой: . Так как вероятность попадания в цель при каждом из выстрелов не зависит от результата остальных выстрелов, то все три события независимы в совокупности, тогда .

Следствие. (Теорема о вероятности появления хотя бы одного из совокупности независимых событий). Вероятность появления хотя бы одного из совокупности независимых событий А ₁, А ₂, …, А_n равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, : .

Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: ; ; . Найти вероятность попадания хотя бы одним из орудий при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть событие А – попадание в цель хотя бы одним из орудий при одном залпе из всех орудий, событие А ₁ – попадание в цель первым орудием, А ₂ – попадание в цель вторым орудием, А ₃ – попадание в цель третьим орудием. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому события А ₁, А ₂, А ₃ независимы. Вероятности событий, противоположных событиям А ₁, А ₂, А ₃ (то есть вероятности промахов), соответственно равны:

; ; .

Тогда искомая вероятность .

Замечание 6. Формула (1’), которая в случае классического определения вероятности выводится из определения условной вероятности, в случае аксиоматического определения вероятности будет взята в качестве определения. Таким образом, в общем случае при по определению полагаем (в случае условная вероятность остаётся неопределённой). Это определение позволяет перенести на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.