Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона

Формула и схема Бернулли

Пусть многократно реализуются повторные испытания при неизменных условиях их проведения. В ходе испытания фиксируется появление некоторого случайного события А, вероятность появления которого – Р(А) не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается неизменной (Р(А)=const) при

повторении опыта. Такие испытания называются независимыми, а схема проведения испытаний носит название схемы Бернулли.

Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяющих условиям схемы Бернулли равна:

,

где:p=P(A)–вероятность наступления события А; и q=1-p.

Пример 1. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажутся 2 выигрышных.

Решение. Данная задача описывается схемой Бернулли: проводится 10 испытаний, в ходе которых проверяется наличие выигрыша. Применяя формулу Бернулли, находим вероятность появления выигрыша в двух из десяти испытаний:

.

Пример 2. При проведении маркетинговых исследований выявлено, что 20% опрошенных предпочитают использовать продукцию данной фирмы. Найти вероятности возможного числа пользователей продукцией фирмы в произвольно выбранной группе из пяти человек.

Решение. Согласно условию задачи вероятность того, что человек использует продукцию данной фирмы равна 0,2 (т.е: и ). Искомые вероятности находим по формуле Бернулли (где: n=5; и m=1,…,5) и помещаем их в таблицу.

 

№ п.п.	Число пользователей продукцией фирмы в группе из пяти человек	Вероятность рассматриваемого события ( )
	Пользователей нет
	Один пользователь
	Два пользователя
	Три пользователя
	Четыре пользователя
	Все используют продукцию данной фирмы

Асимптотические приближения формулы Бернулли

Формула Бернулли дает точное значение вероятности того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, определяемых схемой Бернулли. Однако, практическое применение этой формулы часто оказывается затруднительным, если числа m и n достаточно велики, а вероятность р – мала. Существуют некоторые асимптотические приближения формулы Бернулли.

Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, стремится к нулю ( ) при неограниченном увеличении числа испытаний n ( ), а произведение np стремится к некоторой константе ( ), то вероятность того, что событие А наступит

ровно m раз в n испытаниях удовлетворяет предельному равенству: .

С практической точки зрения, условия и выводы данной теоремы означают, что при выполнении следующих трех условий:

а)вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, достаточно мала;

б)число испытаний n – велико;

в)произведение np не превышает десяти ( ),

то с достаточно высокой степенью точности формула Бернулли может быть аппроксимирована следующей формулой (Пуассона): , где: .