Классическое определение вероятностей. Статистическое определение вероятностей

Предмет теории вероятностей. Пространство элементарный исходов

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.

Невозможными называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности событий S либо произойдет, либо не произойдет.

Предметом теории вероятности является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Построение логически полноценной теории вероятностей основана на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарные события и вероятность. Аксиомы, определяющие вероятность:

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события А.

2.Вероятность достоверного события равна единице:

3.Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Виды случайных событий:

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появляется одно и только одно из этих событий.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным чем другое.

Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий, а сами элементарные события – точками пространства.

Операции над событиями:

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1,..., m.

B

A

W

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1,..., m.

B

W

A

3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

B

W

A

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам. Формулы де Моргана: и

A

W

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания. События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий. C=A×B=V Тут V - пустое множество.

Классическое определение вероятностей. Статистическое определение вероятностей

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m =9, n =9+6=15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

- число испытаний, в которых появилось событие А;

- общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.