Мал. 9
|
Нехай є n-канальна С.М.О. із відмовами. Розглянемо її як фізичну систему S із кінцевою множиною станів Sk, де Sk - зайнято рівно k каналів, k = 0,..., n
Граф переходів даний на мал. 9.
Визначити ймовірність станів системи Pk(t) (k= 0,..., n) для будь-якого моменту часу t. Допущення:
1) потік заявок - найпростіший, із щільністю l.
2) час обслуговування Тоб, показове, із параметром
g(t) = me-m t (t>0) (2.25)
де mtоb = M(Tob) - математичне сподівання.
Величину m можна витлумачувати як (інтенсивність) щільність потоку звільнення зайнятого каналу.
Так як обидва потоки, заявок і звільнень, найпростіші, процес, що протікає в системі є марковським.
Очевидно, що для визначення P(t) можна скористатися математичним апаратом безперервних ланцюгів Маркова.
Для цього знайдемо щільності ймовірностей переходу системи із стану у стан. Перехід системи із стану у стан може трапитися або за рахунок появи заявки або за рахунок обслуговування заявки.
Так як потоки заявок і вивільнення каналів найпростіші, значить ординарні, то за час 
t у системі може з'явитися тільки одна заявка і канал може обслугувати лише одну заявку. Позначимо через подію Z - появу заявки, через О - вивільнення в каналах від заявки, за час t. Для найпростіших потоків із щільністю (інтенсивністю) l, ймовірність появи n подій за час знаходиться за формулою Пуасона.
(2.26)
Тоді 
(2.27)
(2.28)
З огляду на те, що щільність потоку обслуговування заявок m, аналогічно
(2.29) - (2.30)
Тоді за визначенням щільності ймовірності потоку переходу системи за рахунок надходження заявки
fзаяв(t) = 
(2.31)
Аналогічно одержуємо щільність ймовірності потоку переходу системи за рахунок обслуговування заявки
fоб(t) = 
(2.32)
Зауваження 3. Якщо система знаходиться в стані Sk, тобто зайнято k каналів, то ймовірність звільнення одного каналу з k
Тоді щільність ймовірності переходу системи із стану Sk у стан Sk-1 буде
(2.33)
Тепер, нанесемо отримані щільності ймовірностей переходу на граф станів і отримаємо розмічений граф станів, мал.10.
Мал. 10
|
Складемо для системи як для Н.М.Л. систему диференційованих рівнянь Колмогорова для ймовірностей переходу
P¢0(t) = -P0(t) + mP1(t)
P¢1(t) = lP0(t) - (l +m)P1(t) + 2mP2(t) (2.34)
--------------------------------------------------
P¢k(t) = lPk-1(t) - (l +km)Pk(t) + (k+1)mPk+1(t)
--------------------------------------------------
P¢n(t) = lPn-1(t) - nmPn(t)
Рівняння (34) називаються рівняннями Ерланга.
Інтегрування системи рівнянь (34) при початкових умовах Р0(0) = =1; Р1(0) =... = Pn(0) = 0, тобто в початковий момент усі канали вільні, дає залежність Pk(t) для будь-якого k.
Pk(t) характеризують середнє завантаження системи і її зміну з часом. Зокрема, Pn(t) є ймовірність того, що заявка, що надійшла в момент t, застане всі канали зайнятими (одержить відмову): Рвід = Pn(t).
Величина g(t) = 1 - Pn(t) називається відносною пропускною спроможністю системи. Для моменту t це є відношення середнього числа обслуговуваних за одиницю часу заявок до середнього числа поданих.
Зауваження 4. При виведенні рівнянь Ерланга ми ніде не користувалися тим, що величини l та m постійні. Тому рівняння (2.34) справедливі і для l(t) і m(t), аби лише потоки в системі були пуасоновськими.
