Випадкові процеси. Марковські випадкові процеси

Нехай є деяка фізична система S, стан якої змінюється з часом (наприклад S: обчислювальна машина, залізничний вузол, супермаркет і т. і.). Якщо стан системи S змінюється в часі випадково, заздалегідь непередбачено, то говорять, що в системі S протікає випадковий процес.

Конкретне протікання кожного з таких процесів залежить від ряду випадкових, заздалегідь непередбачених чинників, таких як:

- надходження замовлень на ЕОМ, вид замовлень;

- інтенсивності прямування поїздів, вантажних і пасажирських, дотримання графіка прямування і т.д.;

- кількості покупців у супермаркеті, часу їхнього обслуговування.

Випадковий процес у системі S називається марковським або “процесом без післядії”, якщо він має таку властивість: для кожного моменту часу t₀ Ймовірність будь-якого стану системи в майбутньому (при t > t₀) залежить тільки від її стану в дійсному (при t = t₀) і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла в цей стан (тобто від розвитку процесу в минулому).

Приклад 1. Кожний технічний прилад характеризується ступенем зношеності S. Тоді, принаймні приблизно, можна вважати, що характеристики роботи приладу (частота відмов, потреба в ремонті) залежать від стана приладу в дійсний момент і не залежать від того, коли і як пристрій досяг свого теперішнього стану. Тому процес S можна вважати марковським.

У залежності від того, у які моменти часу система S змінює свої стани, випадкові процеси діляться на два класи.

В.П. називається процесом із дискретними станами, якщо можливі стани системи: S1, S2, S3,... можна перерахувати (перенумерувати) один за іншим, а самий процес полягає в тому, що час від часу система S стрибком (миттєво) перескакує з одного стана в інший.

Приклад 2. Технічний пристрій складається з двох вузлів: I і II. Тоді можливі чотири стани системи: S₁ - I і II робить,
S₂ - I, II; S₃ - I, II; S₄ - I, II.

В.П. називається процесом із безперервними станами, якщо із стану в стан відбувається плавний перехід.

Наприклад, процес зміни напруги в електричній мережі. Ми будемо розглядати тільки В.П.С. дискретними станами.

При аналізі таких процесів будемо користуватися геометричною схемою - так званим графом станів. Граф станів зображує можливі стани системи і можливі переходи із стана в стан, що позначаються стрілками.

Зауваження. Якщо система переходить із S1 у S3 через S2, то S1 S2; S2 S3; але не S1 S3 Для попереднього прикладу граф станів на мал.1   Якщо ж у попередньому прикладі вузол, що відмовив, негайно починає відновлятися, то граф станів має вигляд мал.2

Мал. 1.     Мал. 2.