Образец выполнения лабораторной работы №2

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные:

Найти корень уравнения e^{- x} - x =0 на отрезке [0, 1] с точностью e=0,0001 при помощи методов половинного деления, хорд, касательных и простой итерации, используя программирование ячеек рабочего листа. Имеем: f (x)= e^{- x} - x, a=0, b=1, e=0,0001.

2. Доказательство того, что внутри отрезка [0, 1] существует единственный корень уравнения e^{- x} - x =0.

Доказательство этого факта проведите и оформите самостоятельно. (При доказательстве можно использовать любой из пунктов 2, 3 или 4 лабораторной работы №1.)

3. Описание метода решения нелинейного уравнения с анализом сходимости итерационного процесса, его блок-схема и зарисовка фрагмента рабочего листа с указанием формул, которые необходимо ввести для каждого из соответствующих численных методов.

а) метод половинного деления

Описание метода см. в п. 2.1 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Блок схема метода половинного деления представлена в прил.1
(см. с.52).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые
необходимо ввести для метода половинного деления:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 E1 F1 A2 B2 C2 D2 E2 F2 G2 A3 B3 C3	n а b xn f(a) f(xn) =(B2+C2)/2 =EXP(-B2)-B2 =EXP(-D2)-D2 =ЕСЛИ(C2-B2<0,0001;"стоп";"далее") =A2+1 =ЕСЛИ(E2*F2<0;B2;D2) =ЕСЛИ(E2*F2<0;D2;C2)

Далее, выделив диапазон D2:G2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:G3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце G не появится сообщение «стоп», что означает что корень найден и его значение находится в столбце D.

В данном случае это сообщение появится в ячейке G16, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке D16. Ниже приведен фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом деления пополам уравнения e^{- x} - x =0.

б) метод хорд

Описание метода см. в п. 2.2 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Поскольку f (0)=1 и , а значит , то согласно правилу (см.с.14), по которому определяется тот конец отрезка, который будет неподвижен, и выбор формулы, имеем:

Блок схема метода хорд представлена в прил.2 (см. с.53).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода хорд:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 E1 A2 B2 C2 D2 E2 A3 B3 F3	n xn f(xn) a f(a) =EXP(-B2)-B2 =EXP(-D2)-D2 =A2+1 =B2-(B2-$D$2)*C2/(C2-$E$2) =ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку С2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

 

И окончательно, выделив диапазон A3:F3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце F не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке F7, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке В7. Ниже приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом хорд уравнения e^{- x} - x =0.

в) метод касательных

Описание метода см. в п. 2.3. (Для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно.)

Для обоснования сходимости метода касательных проверим выполнение условия (7) на концах отрезка [0,1]. Поскольку, f ’’(x)>0, " x Î[0,1], а f (0)=1>0, f (1)= -0,63212<0, то f (0) f ’’(x)>0, x Î[0,1] и в качестве начального приближения x ₀ следует взять x ₀=0. Формула для вычисления первого шага итерационного процесса выглядит следующим образом:

Блок схема метода касательных представлена в прил.3.

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода касательных:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 E3	n xn f(xn) f’(xn) =EXP(-B2)-B2 =-EXP(-B2)-1 =A2+1 =B2-C2/D2 =ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив диапазон C2:D2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:E3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце E не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке E6, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5671 и находится в ячейке В6. Ниже приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом касательных уравнения e^{- x} - x =0.

г) метод простой итерации

Описание метода см. в п. 2.4 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Данное уравнение (e^{- x} - x =0) приведем к виду (8):

x = e^{- x} или x= j(x), где j(x)= e^{- x}.

Так как j^’(x)= - e^{- x}, |j^’(x)|=| e^{- x} |<1, " x Î(0,1] то условие (10) выполнено; процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального приближения середину отрезка, т.е. , вычисления последующих приближений проведем по формуле

Блок схема метода простой итерации представлена в прил.4 (см. с.54).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода простой итерации:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 D3	n xn j(xn) 0,5 =EXP(-B2) =A2+1 =C2 =ЕСЛИ(ABS(B2-B3)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку C2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:D3, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце D не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке D16, а значение корня с

точностью 0,0001 равно 0,5671 и находится в ячейке B16. На рисунке справа приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом простой итерации уравнения e^{- x} - x =0.

 

 

Решение уравнения e- x - x =0	Название численного метода
метод половинного деления	метод хорд	метод касательных	метод простой итерации
Вычисленное значение корня	0,5672	0,5672	0,5671	0,5671
Число итераций

4. Результаты работы для каждого из указанных численных методов выписать в следующем виде (вывод итоговой оценки для корня должно быть выведено лишь с верными цифрами (число верных цифр после десятичной точки имеет порядок Lg(1/e)):

5. Полученные результаты проанализировать самостоятельно.