Сравнение эффективности методов

Заметим, что существуют и другие методы (наискорейшего спуска, Эйткена-Стеффенсена, Вегстейна, Рыбакова и т.д.) уточнения корней, обладающие высокой скоростью сходимости. Ситуация, когда одну и ту же математическую задачу можно решать с помощью разных методов, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает необходимость сравнения методов между собой. При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:

1) универсальность;

2) простота организации вычислительного процесса и контроля за точностью;

3) скорость сходимости.

Посмотрим с этой точки зрения на разработанные методы решения уравнений:

1. Наиболее универсальным является метод половинного деления: он требует только непрерывности функции f (x). Во многих случаях это преимущество может оказаться существенным.

2. С точки зрения вычислительного процесса все предложенные методы очень просты. Однако и здесь метод половинного деления обладает определенным преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a,b], на концах которого непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков. Процесс будет сходиться к корню уравнения f (x)=0, причем на каждом шаге он дает для корня двустороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случае, когда подсчет значений функции f (x) сложен и требует больших затрат машинного времени, это преимущество становится определяющим.

Итак, мы видим, что ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения уравнений не однозначен. Он существенно зависит от того, какую дополнительную информацию о функции f (x) мы имеем и, в соответствии с этим, каким свойствам метода придает наибольшее значение. При обосновании метода итераций и метода Ньютона на функции j(x) и f (x), а также на выбор начального приближения x ₀ накладывались определенные ограничения. Однако при решении конкретных задач проверить их выполнение часто бывает трудно и даже невозможно. Функция может не задаваться в виде простой формулы, а находиться в результате численного решения некоторой математической задачи, получаться из измерений и т.д. В таких случаях применимость метода приходится проверять «экспериментально»: начинают расчет и следят за поведением первых членов последовательности { x _n}. Если по ним видно, что процесс сходится, то расчет продолжают, пока не достигнут нужной точности. В противном случае вычисления прекращают и анализируют полученные данные, пытаясь установить причину расходимости и в соответствии с ней выбрать другой метод решения задачи.

Лабораторная работа № 2 на тему: «Уточнение корней нелинейного уравнения при помощи некоторых численных методов»

Цель работы:

1. Получение практических навыков в организации итерационных процессов.

2. Знакомство с численными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

3. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения данных.

4. Овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений посредством программирования ячеек рабочего листа MS Excel.

Постановка задачи:

1. Убедиться в наличии или отсутствии корней внутри предложенного вам отрезка и в сходимости итерационного процесса, получаемого при реализации выбранного метода (в применимости метода).

2. Для конкретного варианта найти корень уравнения f (x)=0 на отрезке [a, b] с точностью e=0,0001 при помощи следующих численных методов:

а) метод половинного деления;

б) метод хорд;

в) метод касательных;

г) метод простой итерации;

используя программирование ячеек рабочего листа. (Решение нелинейного уравнения каждым из указанных численных методов оформить на отдельном рабочем листе программы MS Excel и дать ему соответствующее название.)

Содержание отчета:

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

2. Доказательство того, что внутри предложенного вам отрезка существует единственный корень данного уравнения.

3. Описание метода:

а) половинного деления;

б) хорд;

в) касательных;

г) простой итерации;

решения нелинейного уравнения с анализом сходимости итерационного процесса, его блок-схема и зарисовка фрагмента рабочего листа (в качестве имени рабочего листа выбрать название соответствующего численного метода) с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для каждого из соответствующих численных методов. Посчитать количество итераций для каждого из численных методов.

4. Результаты работы для каждого из указанных численных методов выписать в следующем виде (вывод итоговой оценки для корня должно быть выведено лишь с верными цифрами (число верных цифр после десятичной точки имеет порядок Lg(1/e)):

 

Решение уравнения f (x)=0	Название численного метода
метод половинного деления	метод хорд	метод касательных	метод простой итерации
Вычисленное значение корня
Число итераций

5. Проанализировать полученные результаты.