В системе с астатизмом второго порядка

Пример 5.1. Синтезировать регулятор положения с применением ЛЧХ на основе критерия динамической точности системы. Для расчётов принять следующие параметры:

- максимальная угловая скорость нагрузки = 65 град/с;

- максимальное угловое ускорение нагрузки = 19 град/с²;

- ошибка по скорости Da_W = 25 мин;

- ошибка по ускорению Da_e = 50 мин;

- передаточное число редуктора ;

- показатель колебательности М = 1,1;

- коэффициент передачи вращающегося трансформатора

В/рад.

Моментную составляющую ошибки определить при отработке квадратично возрастающего момента сопротивления .

Параметры контура скорости принять из примера 3.2.

Решение. 1. Определяем параметры желаемой передаточной функции ЭП (5.6). Коэффициент передачи по ускорению будет равен

с^{– 2}.

Значение базовой частоты определится по формуле (5.4)

с^{– 1}.

По выражениям (5.7) рассчитываем постоянные времени

с;

с.

С учётом проведённых расчётов запишем желаемую передаточную функцию ЭП с астатизмом второго порядка

. (5.13)

Передаточная функция неизменяемой части

.

Данные для определения передаточной функции примем по примеру 3.2 и составим программу:

num1=[0.0017577 0.12555 1.55];

den1=[0.0001134 0.063 0];

sys1=tf(num1, den1);

num2=[11];

den2=[0.004 1];

sys2=tf(num2, den2);

num3=[0.818];

den3=[0.001134 0.081 1];

sys3=tf(num3, den3);

sys4=sys1*sys2*sys3;

num5=[0.127];

den5=[0.012 1];

sys5=tf(num5, den5);

sys6=feedback(sys4,sys5);

num7=[28.5];

den7=[69 0];

sys7=tf(num7, den7);

sys8=sys6*sys7

sys8 =

0.005409 s^3 + 0.8371 s^2 + 36.97 s + 397.5

---------------------------------------------------------------------------------------------

4.259e-10 s^7 + 4.09e-07 s^6 + 0.0001152 s^5 + 0.01153 s^4 + 0.5681 s^3 + 14.25 s^2 + 122.2 s

В приведенной программе оператор feedback осуществляет операцию замыкания отрицательной обратной связи контура скорости согласно уравнения

.

Для определения передаточной функции регулятора положения составляем следующую программу:

 

num1=[32.244*0.584 32.244];

den1=[0.0278 1 0 0];

sys1=tf(num1, den1);

num2=[0.005409 0.8371 36.97 397.5];

den2=[4.259e-10 4.09e-07 0.0001152 0.01153 0.5681 14.25 122.2 0];

sys2=tf(num2, den2);

sys3=sys1/sys2

 

sys3 =

 

8.02e-09 s^8 + 7.715e-06 s^7 + 0.002182 s^6 + 0.2208 s^5 + 11.07 s^4 + 286.7 s^3 + 2761 s^2 + 3940 s

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.0001504 s^6 + 0.02868 s^5 + 1.865 s^4 + 48.02 s^3 + 397.5 s^2

 

Составляем программу для определения ЛАЧХ регулятора положения, изображенную на рис. 5.2:

 

num=[8.02e-09 7.715e-06 0.002182 0.2208 11.07 286.7 2761 3940 0];

den=[0.0001504 0.02868 1.865 48.02 397.5 0 0];

bode(num, den)

Рис. 5.2. ЛАЧХ регулятора положения

 

Переходим к анализу полученного графика. Низкочастотный участок ЛАЧХ регулятора положения проходит под наклоном –20 дБ/дек, постепенно изменяя наклон к среднечастотному участку до 0 дБ/дек. Высокочастотный участок полученной ЛАЧХ (w ³ 100 с^{– 1}) аппроксимируем двумя асимптотами с наклоном 20 дБ/дек и 0 дБ/дек.

Таким образом, проведённый анализ показывает, что ЛАЧХ следует аппроксимировать четырьмя асимптотами (рис. 5.2) и придать регулятору положения свойства ПИД-регулятора.

Рассчитаем параметры передаточной функции регулятора положения. На частоте w = 1 находим

 

дБ, (5.15)

откуда = 11,481 с^{– 1}.

По графику, представленному на рис. 5.2, определяем частоты сопряжения w₁ = 2,56 с^{– 1}; w₂ = 100 с^{– 1}; w₃ = 1000 с^{– 1} и рассчитываем постоянные времени

с; с; с.

Подставляя значение Т ₁ в (5.15), получаем коэффициент передачи регулятора положения

.

С учётом полученных значений передаточная функция синтезированного регулятора положения принимает вид

.

Для построения динамической модели ЭП представим передаточную функцию РП (ПИД-регулятора) в виде произведения

.

Данная модель ПИД-регулятора чётко показывает все три составляющие алгоритма его работы: пропорциональную К _рп, интегральную и дифференциальную составляющую, представленную в виде форсирующего звена первого порядка (). Заметим, что первая составляющая обеспечивает передачу сигнала, пропорциональную коэффициенту К _рп. Интегральная составляющая обеспечивает точность работы системы за счёт сведения к нулю установившейся ошибки при отработке линейно возрастающего сигнала α_з = Ω_max t. Дифференциальная составляющая обеспечивает увеличение запасов устойчивости по фазе и амплитуде и требуемую колебательность процесса.

С учётом рассчитанных параметров получаем ССДМ ЭП (рис. 5.5) с аналоговыми контуром положения и контуром скорости, который был синтезирован в примере 3.2. Особенностью схемы, показанной на рис. 5.5, является наличие блоков Ramp, Ramp1, Ramp2, Ramp3, служащих для формирования квадратично возрастающих воздействий и на выходах умножителей Product, Product1.

Блок Ramp (рис. 5.3), реализующий линейно возрастающий сигнал, находится в библиотеке блоков Sources.

Рис. 5.3. Блок Ramp

В диалоговые окна блоков Ramp и Ramp1 (рис. 5.4) вводятся значения 1 и .

Рис. 5.4. Диалоговое окно блока Ramp

Аналогично, в диалоговые окна блоков Ramp2 и Ramp3 вводятся значения 1 и соответственно.

Рис. 5.5. Структурная схема динамической модели электропривода в среде MatLab

Результаты моделирования показаны на рис. 5.6-5.8.

α(t), рад

t, c

Рис. 5.6. Переходная характеристика системы по задающему воздействию

 

, рад

t, c

Рис. 5.7. График ошибки системы при квадратично возрастающем

задающем воздействии

, рад

t, c

Рис. 5.8. График моментной составляющей ошибки системы

при квадратично возрастающем моменте сопротивления

 

Анализ графика (рис. 5.6) показывает, что следящий позиционный ЭП отрабатывает ступенчатое воздействие примерно за 2,0 с с перерегулированием и числом колебаний N < 1, что соответствует заданному показателю колебательности М = 1,1.

Поскольку контур положения содержит ПИД-регулятор положения, очевидно, что при ступенчатом и линейно возрастающем задающем воздействии статическая ошибка и ошибка по скорости будут равны нулю. На рис. 5.7 представлена характеристика при отработке типового задающего воздействия /2. Установившаяся ошибка системы составляет около 30 мин. Моментная составляющая ошибки при отработке квадратично возрастающего момента сопротивления составляет 6,84 мин по истечении 2,5 с (рис. 5.8).