Имея выборку объёма n 
, полученную при n наблюдениях за случайной величиной X, требуется определить выборочные числовые характеристики по этой выборке.
Аналогом математического ожидания является выборочное среднее. Оно определяется как среднее арифметическое элементов выборки: 
.
Аналогом дисперсии является выборочная дисперсия. Она определяется следующим образом: 
. Здесь 
.
Для нашего случая получаем:
//////x= 0.8748906 s2=0.1938406
Отклонения от реальных значений составляют:
1ое:4/9-x 2ое:11/81 – s2
Метод моментов
У нас имеется выборка объёма n , полученная при n наблюдениях за случайной величиной X, имеющей плотность вероятностей
с неизвестными параметрами 
и 
. Требуется оценить значение параметров методом моментов, т.е. указать для него точечные оценки 
и 
.
Составим систему уравнений, используя найденные ранее выражения для дисперсии и математического ожидания.
После подсчёта получаем 
Отклонение от реальных значений составляют:
|b-sigma1|=0.411393
Доверительные интервалы
Имея выборку объёма n , полученную при n наблюдениях за случайной величиной X с общим законом распределения Симпсона, требуется построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности γ.
В нашем случае асимптотическими доверительными интервалами для математического ожидания MX = a и DX = σ2 являются:
и
,
где 
– выборочное среднее,
S2 – выборочная дисперсия,
– выборочный центральный момент четвёртого порядка.
В результате вычислений получаем:
; \\\(0.827625 0.922156)
.\\\\(0.192243 0.286372)
Очевидно, что и найденные ранее выборочные, и теоретические значения матожидания и дисперсии попадают в полученные интервалы.
Критерий Пирсона
Пусть у нас имеется выборка объёма n , полученная при n наблюдениях за случайной величиной X, закон распределения которой неизвестен. Требуется проверить гипотезу о том, что величина X имеет общий закон распределения Симпсона с неизвестными параметрами, пользуясь критерием χ2 Пирсона.
Поскольку у всех интервалов частота значений превышает 5, то нет необходимости их объединять.
Составим таблицу для интервалов группировки:
| Номер интервала | Интервал | 
| 
| 
|
| [-0.9579396; -0.5791479) | 0.025 | 0.0207149 | ||
| [-0.5791479; -0.2003562) | 0.05 | 0.0584023 | ||
| [-0.2003562; 0.1784354) | 0.08 | 0.0960898 | ||
| [0.1784354; 0.5572271) | 0.16 | 0.1337772 | ||
| [0.5572271; 0.9360188) | 0.175 | 0.1714647 | ||
| [0.9360188; 1.3148105) | 0.175 | 0.1787250 | ||
| [1.3148105; 1.6936021) | 0.1375 | 0.1414256 | ||
| [1.6936021; 2.0723938) | 0.0925 | 0.1037381 | ||
| [2.0723938; 2.4511855) | 0.075 | 0.0660507 | ||
| [2.4511855; 2.8299772] | 0.03 | 0.0283632 | ||
| Σ |
Здесь 
– границы интервалов группировки;
– частоты значений;
– относительные частоты;
– теоретические значения вероятности попадания в интервал.
Найдём значение статистики:
, где N – количество интервалов группировки.
Получаем: 
. \\\\\ 8.567
Определим порог 
.
Здесь k=2 – число неизвестных параметров распределения.
Таким образом, искомый порог 
. 13.388
Сравним значение статистики и порога. Очевидно, что значение статистики меньше, чем значение порога, следовательно, можно принять гипотезу о виде распределения.
Задание №3.
