1a) Если наблюдаемая случайная величина 
имеет нормальный закон распределения 
с неизвестным математическим ожиданием 
и неизвестной дисперсией 
, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
где 
– 
- квантиль распределения Стьюдента 
с
(n —1) степенью свободы, 
– доверительная вероятность, 
- выборочное среднее 
- выборочная дисперсия.
При больших 
(практически при 
) распределение Стьюдента приближается (в смысле слабой сходимости) к стандартному нормальному закону распределения, поэтому в этом случае 
, где 
– 
-квантиль нормального распределения. Доверительный интервал для математического ожидания в этом случае будет строиться по закону:
,
Квантиль распределения нормального распределения определяется формулой:
Будем искать при помощи функции cdfnor.
После подстановки значений получим: ∆γ(θ1)= (-0.157761;0.325398)
1б) Доверительный интервал для дисперсии 
наблюдаемой случайной величины 
, распределенной по нормальному закону 
, при неизвестном математическом ожидании 
имеет вид:
где 
– соответствующие квантили распределения 
.
Хи-квадрат 
квантиль распределения определяем по формуле:
, где 
.
При 
,
где 
— квантиль нормального распределения.
С использованием центральной предельной теоремы можно показать, что приближенным (асимптотическим) доверительным интервалом для дисперсии 
нормально распределенной 
случайной величины 
с неизвестным математическим ожиданием 
является интервал:
,
После подстановки значений получим: ∆γ(θ22)= (8.751177; 13.438808)
2) Если наблюдаемая случайная величина 
имеет нормальный закон распределения 
с неизвестным математическим ожиданием 
и известной дисперсией 
, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
,
∆γ(θ)= (-0.343151; 0.646209)
3) Доверительный интервал для дисперсии 
наблюдаемой случайной величины 
, распределенной по нормальному закону 
, при известном математическом ожидании 
имеет вид:
∆γ(θ2)= (9.852264; 12.325678)
Заметим, что настоящие характеристики попадают в найденные для них доверительные интервалы.
Критерий Пирсона
Пусть имеем выборку объёма n 
, полученную при n наблюдениях над случайной величиной X, закон распределения которой неизвестен. Требуется проверить гипотезу о том, что величина X имеет нормальный закон распределения, пользуясь критерием χ2 Пирсона. Рассмотрим отдельно случаи неизвестных и известных параметров распределения.
Используем полученные в 2.1.1 интервалы группировки, объединяем некоторые из них так, чтобы в каждом из интервалов частота группировки была не менее 5.
Составим таблицу для получившихся интервалов группировки:
| Номер интервала | Интервал | 
| 
| 
| 
|
| [-9.599971; -7.8510942) | 0.0063158 | 0.0036113 | 0.0028270 | ||
| [-7.8510942; -6.1022174) | 0.0231579 | 0.0132416 | 0.0106259 | ||
| [-6.1022174; -4.3533406) | 0.0589474 | 0.0337058 | 0.0300104 | ||
| [-4.3533406; - 2.6044638) | 0.1305263 | 0.0746344 | 0.0636846 | ||
| [- 2.6044638;- 0.8555870) | 0.1642105 | 0.0938949 | 0.1015442 | ||
| [- 0.8555870; 0.8932898) | 0.2021053 | 0.1155629 | 0.1216561 | ||
| [0.8932898; 2.6421666) | 0.1852632 | 0.1059327 | 0.1095143 | ||
| [2.6421666; 4.3910434) | 0.1347368 | 0.0770419 | 0.0740739 | ||
| [4.3910434; 6.1399202 ] | 0.0568421 | 0.0325021 | 0.0376459 | ||
| [6.1399202; 7.8887969 ] | 0.0378947 | 0.0216680 | 0.0143757 | ||
| Σ |
Здесь 
– границы интервалов группировки;
– частоты значений;
– относительные частоты;
– теоретические значения вероятности попадания в интервал;
Φ(x) – функция Лапласа;
– выборочные значения вероятности попадания в интервал.
Найдём значения статистик для случаев известных и неизвестных параметров распределения:
– статистика для случая известных параметров. Здесь N – количество интервалов группировки.
– статистика для случая неизвестных параметров.
Полученные значения статистик:
Определим пороги для обоих случаев:
– порог. Здесь k – число неизвестных параметров распределения.
Таким образом,
– порог для случая известных параметров распределения,
– порог для случая неизвестных параметров распределения.
Получаем следующие пороги:
Сравним значения соответствующих статистик и порогов.
Значения статистик намного меньше, чем получившиеся пороги, следовательно, можно принять гипотезы о видах распределения, как с известными, так и с неизвестными параметрами.
Задание №2. Тут надо высчитать и записать
Имеем случайную величину X с плотностью вероятностей:
Рассчитаем аналитически числовые характеристики этой случайной величины.
Математическое ожидание X равно:
Подставим данные значения и получим, 
.
Найдем дисперсию.
Подставляем данные значения, получаем 
17/81
Найдем функцию распределения:
Подставляя значения, получим:
Построим графики функции распределения и плотности вероятности.
График плотности вероятностей:
График функции распределения:
Гистограмма выборки
Найдём функцию, обратную к функции распределения: \\\ скинешь.
Таким образом, 
.
Допустим, что мы имеем случайную величина 
. Тогда можно смоделировать случайную величину X как функцию от случайной величины U, обратную функции распределения случайной величины X: 
. Пронаблюдав эту величину n раз, получим выборку объёма n.
Итак, мы имеем выборку объёма n , полученную при n наблюдениях за случайной величиной X. Требуется построить гистограмму распределения по этой выборке.
Воспользуемся алгоритмом из первого пункта.
Получаем:
xmin= 0.0310300 xmax= 4.862974
k=10 ∆= 0.4831944
| Номер интервала | Интервал |
|
|
|
|
| [-0.9579396; -0.5791479) | 0.025 | 0.0659993 | 0.068188 | ||
| [-0.5791479; -0.2003562) | 0.05 | 0.1319987 | 0.168478 | ||
| [-0.2003562; 0.1784354) | 0.08 | 0.2111979 | 0.336413 | ||
| [0.1784354; 0.5572271) | 0.16 | 0.4223958 | 0.4375486 | ||
| [0.5572271; 0.9360188) | 0.175 | 0.4619954 | 0.5042029 | ||
| [0.9360188; 1.3148105) | 0.175 | 0.4619954 | 0.4686463 | ||
| [1.3148105; 1.6936021) | 0.1375 | 0.3629964 | 0.3739484 | ||
| [1.6936021; 2.0723938) | 0.0925 | 0.2441976 | 0.2792505 | ||
| [2.0723938; 2.4511855) | 0.075 | 0.1979980 | 0.1845526 | ||
| [2.4511855; 2.8299772] | 0.03 | 0.0791992 | 0.0898547 | ||
| Σ |
Одновременно строим гистограмму выборки и график теоретической плотности вероятностей.
