Приклад виконання Завдання №4

Монополіст повинен вирішити:

- у якому об'ємі йому потрібно випускати продукцію, щоб вона була повністю реалізована?;

- за якою ціною продавати продукцію, щоб отримати максимальну вигоду?.

Якщо продавати за високою ціною, то може бути не проданий весь товар. Якщо збільшити обсяг виробництва і продавати за нижчою ціною, то вигода від цього не визначена, оскільки із зростанням обсягу виробництва ростуть і витрати.

Для вирішення задачі необхідно змоделювати величину прибутку як дохід мінус витрати. Для цього потрібно скласти функцію доходу R(q), а потім функцію прибутку PR(q). Знайти оптимальне значення q, при якому функція прибутку досягає максимальне значення. Очевидно, що функція прибутку буде нелінійною функцією однієї змінної q.

Для вирішення завдання потрібно знайти точку мінімуму функції PR(q).

При рішенні провести графічний аналіз прибутку, доходу і витрат.

Складемо функцію прибутку. Оскільки відома функція попиту на товар фірми, то спланований обсяг продукції в розмірі p(q) звісно можна продати по ціні q. Тоді дохід від реалізіції спланованого об’єму складе q×p(q).

R(q) = q×p(q).

 

А прибуток буде рівним:

PR(q) = R(q) - C(q)= q×p(q) - c+d×q-e×q²+f×q³.

Як бачимо функція прибутку PR(q) є функцією однієї змінної q. Необхідно визначити при якому значенні q функція прибутку PR(q) досягне максимуму.

Реалізація розвязку задачі в MathCAD:

Опишемо необхідні функції в виді функцій користувача.

Функція затрат:

 

 

Функція попиту:

 

 

Функція доходу:

Функція прибутку:

Побудуємо графік функції прибутку:

 

 

З графіка бачимо, що функція прибутку досягає свого максимуму при значенні q приблизно рівному 10.

Тобто «грубе» наближення точки максимуму q = 10. Уточнимо значення точки максимуму, застосувавши функцію maximize.

 

 

 

 

Таким чином, якщо фірма на продажу випустить продукцію в обсязі 848,055 одиниць, то зможе її повністю продати по ціні 10,39 і при цьому отримає найбільший прибуток в розмірі 4307,80.

Таким чином:

1) оптимальний обсяг монопольного випуску продукції 848,055;

2) оптимальна ціна збуту продукції 10,39;

3) величина максимального прибутку 4307,80.

 

 

Варіанти індивідуального Завдання №4

№ варіанту	а	b	с	d	e	f
1.						0,7
2.						0.7
3.						0,8
4.						0,8
5.						0,9
6.		0,5				0,9
7.		0,8				0,9
8.						0,8
9.						0,8
10.
11.						0,9
12.						0,9
13.						0,7
14.						0,9
15.						0,9
16.						0,7
17.						0,7
18.						0,7
19.						0,7
20.						0,7

IV.5. Завдання № 5.

Тема: Оптимізація виробництва.

Короткі теоретичні відомості для виконання Завдання №5

Багатовимірна оптимізація. Завдання багатомірної оптимізації полягає в знаходженні max або min функції багатьох змінних. При розв’язанні даної задачі доцільним є дослідження графіка функції багатьох змінних. Розглянемо задачу на прикладі функції 2-х змінних z = f(x,y). Графік функції 2-х змінних – це безліч точок з 3-мя координатами (x,y,z). У загальному випадку графіком функції є поверхня в тривимірному просторі OXYZ:

 

На малюнку на площині ХОY відмічені лінії рівнів (q і q1). На рівнях q і q1 функція приймає одне і теж значення, говорять функція постійна. Сукупність ліній рівнів називається картою рівнів. Якщо n>2, то графіком такої функції є поверхня (n+1) рівнів і не має наочного уявлення. В цьому випадку досліджують поверхні на координатній плоскості.

Для пошуку значень змінних x,y при яких деяка функція f(x,y) має максимальне або мінімальне значення використовуються функції:

- maximize (f, x, y);

- minimize (f, x, y).

Побудова об'ємних графіків поверхонь. У новітніх версіях MатнCAD 200Х можна побудувати тривимірний графік спрощеним чином:

1. Описати функцію z(x,y) як функцію користувача двох змінних x і у.

 

2. Використовуючи палітру Графіки, відкрити шаблон тривимірної графіки кнопкою .

3. На єдине місце введення під шаблоном (n) ввести ім’я функції z.

Відвести покажчик миші убік від графіка і натиснути ліву клавішу миші.

- фунуція користувача.

 

Другий спосіб побудови тривимірного графіка. Якщо необхідно побудувати графік поверхні в заданій області, тоді необхідно використати інший спосіб. А саме, попердньо треба обчислити матрицю аплікат функції.

Наприклад, необхідно побудувати графік функції z(x1,x2) = x1² + x2² в області: -20 £ х1 £ 20 і -20 £ х2 £ 20:

 

Тобто необхідно побудувати графік функції в точках квадрата на площині х1Ох2. Необхідно дану квадратну область розбити точками, віднайти їх координати і обрахувати значення функції.

Задамо значення границь для х1 і х2:

 

 

Розібємо відрізки по осям на 20 частин. І обрахуємо координати точок, які внесемо в вектори Х1 і Х2.

 

 

 

 

Обрахуємо значення функції в точках квадратної області і внесемо в матрицю М.

 

 

 

Побудуємо графік функції,задавши матрицю аплікат М:

 

 

Форматування тривимірних графіків. Для форматування графіка його потрібно виділити, подати команду Format®Graph®3D або двічі клацнути по графіку, з'явиться діалогове вікно з множиною вкладок:

 

Відкрита вкладка Спеціальний (Spesial) цього вікна дозволяє задати функціональне забарвлення поверхні. Для цього:

- встановити прапорець Закрасити (Full);

- зняти прапорець Авто Контур (Auto Contour);

- збільшити до 30 значення в полі з лічильником Число.

- Значення Z-Contrours в списку, що розкривається, означає, що колір забарвлення кожної точки поверхні є функцією від координати Z (висоти точки). Низько розташовані точки представляються темним кольором, а високо – яскравими.

Застосувавши потрібні параметри, поверхню можна привести до належного вигляду. Якщо вікно форматування розташувати так, щоб була видна хоч би частина побудованого графіка, тоді клацнувши по кнопці Застосувати (Применить), можна побачити, як вплинули введені зміни на вигляд графіка:

 

Контурний графік. Графік поверхні можна перетворити в контурний графік вибравши в вікні форматування на вкладці General вид графіка Contour Plot. На контурному графіку представлена безліч ліній рівня функції z(x,y).

Лінія рівня функції – це лінія на площині х1Ох2, в кожній точці якої функція постійна.

 

На лініях рівня можна вивести значення функції, яких досягає функція в точках кожної з ліній. Для цього на вкладці General встановити прапорець Numbered.

Очевидно, що в самій внутрішній замкнутій лінії знаходиться точка мінімуму.

При побудові контурного графіка необхідно у вікні форматування на вкладці осей (Axes) задати координати інтервалів по осі OX і OY, які визначили область побудови графіка. Для X-Axis зняти прапорець для Auto Scale і встановити -20 для Minimum Value, 20 для Maximum Value. Аналогічні параметри задати для Y-Axis.

Приклад розв’язання задачі багатомірної оптимізації. Знайти мінімальне значення функції z(x,y)= e-y +x2 +2y.

Опишемо задану функцію у вигляді функції користувача:

Викликаємо графічну область для побудови графіків поверхонь за допомогою команди Insert ® Graph ® Surface Plot.

 

В область індикатора потрібно ввести ім'я функції z. Після форматування графік поверхні прийме вигляд:

 

Графік поверхні дозволяє визначити тільки якісну поведінку функції, але не кількісну. Очевидно, що функція має точку екстремуму – точку мінімуму. Щоб кількісно оцінити положення цієї точки на площині необхідно побудувати контурний графік.

Початкове наближення координат точки мінімуму можна вибрати рівне:

Для уточнення координат точки мінімуму застосуємо функцію мінімізації minimize:

- координати точки мінімуму.

Підставляючи координати точки мінімуму в початкову функцію, визначаємо мінімальне значення функції z_min.

Умова Завдання №5

Деяка виробнича фірма функціонує в умовах досконалої конкуренції. Для неї відома виробнича функція (ВФ), що описує взаємозв'язок між величинами використовуваних ресурсів x1, x2 і випуском продукції q, здійснюваним конкретним суб'єктом господарювання. Припустимо, що ВФ являє собою функцію Кобба-Дугласа:

q (х1,х2) = a₀×x1^a1x2^a2.

Відомі також:

- ринкова ціна продукції p0;

- ринкова ціна першого ресурсу p1;

- ринкова ціна другого ресурсу p2.

Необхідно визначити комбінацію ресурсів, при якій фірма отримає найбільший прибуток.

Необхідно скласти функцію прибутку PR(x1, x2), залежну від двох змінних (ресурсів х1 і х2). Знайти точку максимуму, тобто її координати х1* і х2*, які і будуть оптимальними розмірами ресурсів. Максимальний прибуток відповідно буде рівний PR_max = PR(x1*, x2*).