Приклад виконання Завдання №2.

1. Створити вектор з п’яти елементів.

Для цього іменуємо вектор ідентифікатором А, вставляємо знак привласнення (:=) і клацаємо кнопку на панелі Матриці. В вікні Вставити Матрицю вказуємо кількість рядків (5) і кількість стовпців (1):

Далі отримаємо шаблон вектора:

 

 

,

який заповнюємо значеннями елементів вектора:

 

 

.

 

Аналогічно створюється матриця.

2. Для того щоб провести розрахунки над елементами вектора або матриці необхідно звертатися до їх окремих елементів. Звернення до елементів вектора або матриці проводиться за допомогою індексованої змінної.

Індексована змінна складається з імені вектора (матриці) і індексу – одного для вектора і двох для матриці. Для того щоб добавити індекс необхідно скористатися кнопкою на панелі Матриці. Якщо наприклад необхідно змінній d присвоїти деякий елемент вектора А, то необхідно:

.

Після чого вказуємо номер елемента 2:

 

 

 

 

Командою (=) виводимо значення змінної d і бачимо, що d присвоєно значення -1, тобто значення елементу, який знаходиться на третьому місці в векторі А.:

.

Все вірно. За замовчуванням нумерація елементів вектора розпочинається з нуля. Тому значення -1 має номер 2.

3. Для звернення до елементів матриці необхідно вказати два індекси, які відділяються комою (,). Наприклад:

 

 

Змінній с присвоєно значення елементу матриці В, який розташований в другому рядку і першому стовпці.

Причому знову ж таки нумерація номерів рядків і стовпців розпочинається з нуля.

4. Якщо потрібно змінити початок нумерації, то, використовується так звана попередньо визначена змінна ORIGIN (її ім’я складається виключно з великих букв).

Якщо задати змінній ORIGIN значення 1, то отримаємо:

 

Окрім вибору окремих елементів можна також міняти значення елементів вектора або матриці:

 

Як бачимо значення 0 в матриці В замінено на значення 8.

При роботі з матрицями доводиться застосовувати такі операції, як додавання (віднімання) з константою, множення матриць на константу, множення матриці на вектор і так далі.

Для роботи з векторами і матрицями система MathCad володіє рядом операторів і функцій.

Ділення всіх елементів вектора а на скаляр.
Ділення матриці В на скаляр.
Створення матриці X і обернення матриці. Команда на панелі Матриці. Оберненою матрицею називається X-1, добуток якої на задану матрицю X дає одиничну матрицю.
Транспонування матриці X. Командою на панелі Матриці. Транспонованою матрицею XТ називається квадратна матриця, у якої стовпці відповідають рядкам квадратної матриці X
Виділення n-го стовпця матриці X Командою .
Обчислення визначника. Командою .
Обчислення суми елементів вектора. Командою на панелі Матриці.

 

Варіанти Завдання № 2.

1. Обчислити скалярний добуток двох векторів, заданих самостійно.

2. Створити дві матриці і обчислити їх добуток.

3. Створити довільну матрицю А. Визначити чи має матриця А зворотну, і якщо має, то обчислити її.

4. Створити довільний вектор В. Вичисліть суму першого і останнього елементів вектора.

5. Створити матрицю А. Вичислити суму першого елементу першого рядка і останнього елементу передостаннього стовпця.

6. Створити довільний вектор В. Отибчислити суму всіх елементів вектора.

7. Створити матрицю А. Вичисліть суму елементів першого стовпця матриці.

8. Створити матрицю А. Обчислити суму елементів другого рядка матриці.

9. Обчислити суму елементів другого стовпця матриці А:

 

.

10. Обчислити суму елементів 3-го рядка матриці А.

11. Переставити рядки матриці А так, щоб елементи 3-го стовпця розташовувалися в зростаючому порядку.

12. Обчислити суму елементів, розташованих на перетині стовпців 3,4 і рядків 4,6 матриць А.

13. Визначити суму максимального і мінімального елементів матриці А.

14. Визначити середнє значення елементів 5-го стовпця матриці А.

15. Знайти суму двох матриць А і D, де З – матриця, рядки якої є першими п'ять рядків матриці А; D – одинична матриця.

16. Визначити кількість рядків матриці В, які не містять нульових елементів.

 

Контрольні питання:

1. Для чого використовується панель Математика?
2. Які засоби створення і обробки векторів і матриць ви знаєте?
3. Яке призначення індексованою змінною? Як вона створюється?
4. Які стандартні функції для обробки векторів і матриць ви знаєте?

III. 2. Практична робота №2

 

Тема: Організація циклічних обчислень за допомогою ранжованої змінної.

Мета роботи: Освоїти прийоми роботи з ранжованою змінною для проведення

циклічних обчислень.

Вказівки до виконання роботи:

1. У завданнях 1 і 4 при створенні векторів опишіть ранжовану змінну і, значення якої використовуватимуться як номер елементу вектора, тобто вона повинна набувати цілих значень. А для створення значення відповідного елементу вектора підберіть вираз, який повинен залежати від і і набувати необхідного значення.

2. У 2-му завданні використовуйте дві ранжовані змінні для створення елементів матриці, значення яких проаналізуйте і підберіть, якщо потрібний, необхідний вираз.

3. У 3-му завданні при необхідності використовуйте дві ранжовані змінні. Підберіть для них значення, проаналізувавши закономірності зміни значень індексів вибираних елементів матриці.

Короткі теоретичні відомості до виконання роботи

Ранжовані змінні. У математиці часто виникає необхідність в заданні ряду значень – частіше всього впорядкованого. Наприклад, ряд значень змінної (x) потрібний для побудови графіка функції. MathCad будує графіки функцій по точках, сполучаючи їх прямими. Для створення рядів значень в MathCad використовуються так звані ранжовані змінні.

Ранжована змінна – це змінна, яка приймає діапазон зміни значень. Кожне використання такої змінної сприймається, як необхідність провести обчислення по всіх її значеннях. Для створення ранжованої змінної в загальному випадку використовують вираз:

х:= а, a+h.. b,

де

х -ім'я змінної,

а -початкове значення змінної,

h – крок зміни значення змінної,

b -кінцеве значення змінної,

.. – символ перерахування значень, цей символ з'являється при наборі на клавіатурі символу-;, або з набірної панелі Matrix кнопкою м.

Якщо крок зміни значення h=1, то для створення ранжованої змінної використовують вираз х:= а.. b.

Ранжовані змінні широко застосовуються для представлення функцій у вигляді таблиць виводу. Якщо після деякого виразу з ранжованою змінною втавити знак дорівнює (=), то на екрані буде виведена таблиця значень (мал. 12).

Мал. 12. Приклади опису ранжируваних змінних

Основне призначення ранжованої змінної – організація циклічних обчислень. Тобто за допомогою цієї змінної можна провести багатократне обчислення заданного виразу.

Вираз, який містить ранжовану змінну, обчислюватиметься таку кількість раз, яку кількість значень прийматиме ранжована змінна.

Тобто, якщо ми описали ранжовану змінну i:= 1.. 5, а потім її використали в певному вира з і, наприклад:

і+2,

то вставивши знак дорівнює (=) після цього виразу (команду обчислити вираз), отримаємо 5 значень виразу:

 

Приклад.

Протабулювати функцію, тобто обрахувати значенняфункції f(x) = х² + 2х -3 на відрізку [0; 1] в рівновіддалених точках на відстані 0,05.

Очевидно, що для обрахунку необхідно мати координати точок заданого відрізку, які відіграватимуть роль необхідних значень аргументу х функції f(x).

Обчислення цих значень можна організувати, використавши ранжовану змінну:

х:= 0, 0+0.05.. 1

Реалізація обрахунку матиме вид:

 

 

Циклічна обробка елементів вектора та матриці. Часто виникають задачі, які потребують виконання однотипних операцій над елементами вектора або матриці. В цьому випадку доцільно однотипні операції не повторювати, а «зациклити», що забезпечить їх багатократне виконання. Для цього можна використати ранжовану змінну. Прийоми розв’язання таких задач розглянемо на прикладах.

Приклади циклічного опрацювання елементів вектора та матриці

1. Нехай заданий деякий вектор . Створити вектор В, елементами якого були би елементи вектора А, збільшені на 3.

 

Очевидно, що кожний елемент вектора В необхідно обчислити за формулою: b_і = 3´а_і. (і = 1, 2, …,5).

Обчислення за цією формулою треба провести 5 разів, оскільки вектор А містить 5 елементів. Щоб не створювати 5 однотипних формул, можна цю формулу зациклити на п’ятикратне виконання. Для цього необхідно описати ранжовану змінну, яка буде відігравати роль індексу індексованих змінних для звернення до елементів векторів А та В:

 

 

2. Створити матрицю М наступного виду: .

Раніше ми розглядали спосіб створення матриці за допомогою вставки шаблону, який треба було заповнювати елементами матриці. Тепер розглянемо інший спосіб. А саме за допомогою індексованої змінної. Оскільки для звернення до елементів матриці індексована змінна повинні мати два індекси, необхідно ввести дві ранжовані змінні: і – буде приймати значення номерів рядків і j – буде пробігати значення номерів стовпців:

і:= 1.. 4 j:= 1.. 4.

Далі необхідно виявити закономірності побудови елементів матриці, якщо вони є:

1). Очевидно, що в кожному рядку елементи одинакові, тобто не залежать від номеру стовпця.

2). Елементи в рядках рівні номеру рядка піднесеного до квадрату:

- в 1-му рядку елемент рівний 1² = 1,

- в 2-му рядку елемент рівний 2² = 4,

- в 3-му рядку елемент рівний 3² =6,

- в 4-му рядку елемент рівний 4² =16.

 

Виявивши цю закономірність, можна побудувати формулу обчислення елементів матриці:

М_{і,j =} і².

 

Зацикливши таку формулу, отримаємо бажаний результат.

 

3. Створити вектор .

Спочатку потрібно виявити закономірність в значеннях елементів вектору, тобто чи значення елементу залежить якимось чином від його номеру. Трохи помізкувавши, можна побачити, що кожний елемент дорівнює його номеру, збільшеного в 5 разів і потім ще збільшеного на 1:

6 = 5´1 + 1,

11 = 5´2 + 1,

16 = 5´3 +1,

21 = 5´4 + 1,

26 = 5´5 + 1.

Таким чином отримуємо формулу для обчислення елементів вектора:

Р_і = 5´і + 1.

 

Організовуємо обчислення наступним чином:

 

.

4. Задана матриця . Створити матрицю D, переставивши в матриці С перший і останній рядки.

На перший погляд здається, що для цього необхідно провести обчислення за формулами:

C_1,j = C_5,j – першому рядку матриці присвоїти елементи п’ятого рядка (де j – номер стовпця),

C_5,j = C_1,j – пятому рядку матриці присвоїти елементи першого рядка.

Але першою дією C_1,j = C_5,j ми втратимо елементи першого рядка. Тому для цього необхідно скористатись деяким проміжним вектором, наприклад Р, в якому тимчасово зберегти ці елементи:

Рj = C_1,j,

і тільки після цього замінити елементи першого рядка елементами останнього

C_1,j = C_5,j.

А елементи останнього рядка замінити елементами першого, взявши їх з вектора Р:

C_5,j = Р.

Обчислення матимуть вигляд:

Варіанти індивідуальних завдань:

№ варіанту	Завдання
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю розміром 5´6, кожен елемент якої дорівнював би сумі номерів стовпця і рядка, на перетині яких він розташований.
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю розміром 5´4, кожен елемент якої був би рівний i-2j, де i –номер рядки, а j – номер стовпця, на перетині яких розташований елемент.
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю розміром 6´4, кожен елемент якої дорівнював би 2(i-j), де i –номер рядки, а j – номер стовпця, на перетині яких розташований елемент.
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0,5i; 1,5i; 2,5i; 3,5i; 4,5i; де i – номер елементу.   2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5+i; 1,5+i; 2,5+i; 3,5+i; 4,5+i.   2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0; 1,5; 3; 4,5; 6. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 6,5; 7,5; 8,5; 9,5; 10,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 4; 9; 16; 25; 36. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 2; 5; 10; 17; 26. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0,5-i; 1,5-i; 2,5-i; 3,5-i; 4,5-i, де i – номер елементу. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 4; 7; 12; 19. 2. За допомогою ранжируваної змінної створити одиничну матрицю розміром 6´6.
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 0,5; 3,5; 6,5; 9,5; 12,5. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементами якого були б числа: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5. 2. Створити вектор, елементами якого були б елементи побічної діагоналі матриці А.
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5+i; 1,5+i; 2,5+i; 3,5+i; 4,5+i. (і – номер елементу) 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: i; 1,5+i; 3+i; 4,5+i;,5+i. (і – номер елементу) 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5+i; 1,5+i; 2,5+i; 3,5+i; 4,5+i. (і – номер елементу) 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5i; 1,5i; 2,5i; 3,5i; 4,5i. (і – номер елементу) 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5+i; 1,5+i; 2,5+i; 3,5+i; 4,5+i. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .
	1. За допомогою ранжируваної змінної створити вектор, елементи якого були рівні: 0,5+i; 1,5+i; 2,5+i; 3,5+i; 4,5+i. 2. За допомогою двох ранжируваних змінних створити матрицю: .

 

Контрольні питання:

 

1. Що таке ранжирувана змінна?
2. Для чого використовується ранжирувана змінна?
3. Як описується ранжирувана змінна?
4. Які основні прийоми обробки векторів і матриць за допомогою ранжируваних змінних?

IV. ЗАВДАННЯ ДО контрольної роботи

IV.1. Завдання № 1.

Тема: Матриці в плануванні виробництва.

Короткі теоретичні відомості для виконання Завдання №1

Для створення векторів і матриць використовується команда на панелі Matrix. Команда викликає діалогове вікно, в якому треба вказати розмір матриці, тобто кількість її рядків m і стовпців n. Для векторів один з цих параметрів має дорівнювати 1. При m = 1 отримаємо вектор-стовпець, а при n=1 – вектор-рядок. Для вирішення даного завдання буде потрібно наступних операторів для роботи з векторами і матрицями:

Транспонування матриці X. Транспонованою матрицею XТ називається квадратна матриця, у якої стовпці відповідають рядкам квадратної матриці X. Транспонування матриці Х виконується командою на панелі Matrix.
Перемножування матриць реалізується командою помножити на панелі Calculator.	С:= А × В

Умова Завдання №1

Підприємство випускає m видів продукції з використанням n видів сировини. Норми витрати сировини дані в матриці А, в якій на позиції (i,k) знаходиться число, рівне кількості сировини (кг) k -го виду, що витрачається, на виробництво одиниці продукції i -го виду. Плановий обсяг випуску продукції даний у векторі-рядку Q, в якому i-й елемент дорівнює кількості одиниць продукції i -го виду. Вектор-рядок S задає собівартість одиниці сировини кожного виду, а вектор-рядок t задає транспортні витрати на одиницю сировини кожного виду (k -й елементи цих векторів відповідають k -му виду сировини). Користуючись тільки множенням матриць, знайти: кількість сировини кожного виду для виконання планового випуску продукції; виробничі і транспортні витрати на сировину, що витрачається на виробництво одиниці продукції кожного виду; витрати на всю сировину, необхідну для виконання плану.