Приклад виконання Завдання №2. Введемо позначення невідомих:

Вид сировини	Норми витрати сировини	Витрата сировини на 1 день, ум. од.
Чоботи	Кросовки	Черевики
S1
S2
S3

Введемо позначення невідомих:

х₁ – щоденний обсяг випуску чобіт;

х₂ – щоденний обсяг випуску кросовок;

х₃ – щоденний обсяг випуску черевиків.

Виходячи із об’єму витрат сировини S1 на день і норм витрат цієї сировини на одну пару кожного виду взуття, невідомі х₁, х₂, і х₃ повинні задовільняти рівняння:

1´х₁ + 0´х₂ + 1´х₃ = 550.

Враховуючи об’єм витрат сировини S2 і її норми витрат на одну пару кожного з видів взуття, х₁, х₂, і х₃ повинні задовільняти рівняння:

3´х₁ + 3´х₂ + 1´х₃ = 1550.

Аналогічно отримуємо третє рівняння щодо сировини S3:

1´х₁ + 2´х₂ + 1´х₃ = 750.

Отже х₁, х₂, і х₃ повинні задовільняти трьом вище складеним рівнянням. Тобто задача зводиться до розвязання системи трьох лінійних рівнянь:

.

Розв’язавши систему матричним способом, отримаємо х₁, х₂, і х₃ щоденний обсяг випуску кожного виду взуття.

Реалізація розвязку системи лініних рівнянь в MathCAD:

Отже щоденний випуск чобіт складає 350 одиниць, кросовок - 100, черевиків – 200.

Варіанти індивідуального Завдання №2

№ варіанту	Вид сировини	Норми витрати сировини	Витрата сировини на 1 день, ум. од.
Чоботи	Кросовки	Черевики
1.	S1
S2
S3
2.	S1
S2
S3
3.	S1
S2
S3
4.	S1
S2
S3
5.	S1
S2
S3
6.	S1
S2
S3
7.	S1
S2
S3
8.	S1
S2
S3
9.	S1
S2
S3
10.	S1
S2
S3
11.	S1
S2
S3
12.	S1
S2
S3
13.	S1
S2
S3
14.	S1
S2
S3
15.	S1
S2
S3
16.	S1
S2
S3
17.	S1
S2
S3
18.	S1
S2
S3
19.	S1
S2
S3
20.	S1
S2
S3

IV.3. Завдання № 3.

Тема: Задача міжгалузевого балансу виробництва

(у натуральному виразі).

Короткі теоретичні відомості для виконання Завдання №3

Мета балансового аналізу – відповісти на питання, що виникає в макроекономіці і пов'язане з ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким має бути обсяг виробництва в кожній з n галузей, щоб задовольнити всі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник деякої продукції, з іншого – як споживач своєї продукції і виробленою іншими галузями.

Хай деяке виробництво розділене на n галузей. Позначимо через Q₁, Q₂, …, Q_n планові об'єми продукції, що випускаються, по галузях за деяку одиницю часу (рік, місяць.) тобто за плановий період.

Крім того, кожна галузь поставляє свою продукцію на виробничі потреби інших галузей.

Введемо позначення:

q_i,j - позначимо об'єм продукції виробництва галузі і, що поставляється в j галузь. Причому i, j=1,2,..., n.

q_i,i – об'єм продукції, який виробляється і споживається в одній галузі.

q_i - (i=1,2,..., n) кінцевий продукт, тобто об'єм продукції, який виробляється і не використовується в матеріальному виробництві (цей об'єм продукції може йти на експорт, збільшення запасів, тощо).

Початкові дані можна записати у вигляді таблиці міжгалузевих зв'язків.

Таблиця міжгалузевих зв'язків

Галузь	Об'єм продукції, що випускається	Міжгалузеві потоки	Кінцевий продукт
		.	n
	Q1	q11	q12	.	q1n	q1
	Q2	q21	q22	.	q2n	q2
.	.	.	.	.	.	.
n	Qn	qn1	qn2	.	qnn	qn

Згідно цієї таблиці можна записати n лінійних рівнянь.

. (1)

Введемо коефіцієнти прямих витрат , (2)

які показують витрати продукції i -ї галузі на виробництво одиниці продукції j -ої галузі. Можна вважати, що в деякому проміжку часу коефіцієнти а_ij будуть постійними і залежними від технології виробництва, що склалася.

Ці коефіцієнти утворюють матрицю прямих витрат:

.

Виходячи з виразу (2) маємо q_ij=aij × Q_j.

Отриманий вираз підставимо в систему рівнянь (1), отримаємо систему рівнянь:

. (3)

Введемо позначення:

- вектор валового продукту,

-вектор кінцевого продукту.

Запишемо систему рівнянь (3) в матричному виді

Q=A × Q +q (4)

Основне завдання міжгалузевого балансу полягає у відшуканні такого вектора валового випуску Q, який при відомій матриці прямих витрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту q.

Для цього необхідне рівняння (4) розвязати відносно Q. Проведемо необхідні перетворення:

Q-A × Q=q;

Q × (I-A)=q. (I - одинична матриця) (5)

Рівняння (5) множитимемо лівобічно на зворотну матрицю

(I-A)^-1× (I-A) × Q = (I-A)^-1 ×q

і отримаємо:

Q = (I – A)^-1 × q (6)

Користуючись рівнянням (6) можна прораховувати варіанти виробництва при різних варіантах кінцевого продукту.

Умова Завдання №3.

 

Дані матриця А техніки виробництва і вектор q кінцевої продукції.

Визначити:

- валовий випуск продукції по галузях при заданому q;

- міжгалузеві потоки.