Розрахунок концентрації легуючої домішки

Концентрацію домішок у матеріалі характеризують або кількістю атомів в одиниці об'єму С_i, або в частках, або відсотках за масою y_i. Перший спосіб вираження домішкового складу використовують при аналізі електрофізичних властивостей, другий - при визначенні маси легуючих домішок і для характеристики хімічної чистоти вихідних речовин і реагентів. При незначному вмісті домішок, коли можна знехтувати зміною густини основної речовини d, справедливе наступне співвідношення:

Сi = , (3.1)

де N_A - число Авогадро;

M_i - молярна маса домішкового компонента.

При вирощуванні монокристалів легуючу домішку вводять у стоп у вигляді твердофазної наважки. В окремих випадках, наприклад, в методі безтигельного зонного топлення, домішку можна вводити в кристал з газової фази. Для розрахунку маси легуючої домішки, яка вводиться у стоп напівпровідника, необхідно знати умови вирощування монокристала, масу стопу, вміст фонових (залишкових) домішок, умови взаємодії внаслідок взаємодії стопу з атмосферою і тиглем.

У складних напівпровідників, наприклад, у сполуках А^IIIВ^V, концентрацію носіїв заряду задають у марці в якості вихідного параметра. У марці кристала германію або кремнію вказують, як правило, значення питомого опору кристала (див. 2.2). Для германію питомий опір переводять в концентрацію носіїв заряду аналітично (див. рівняння (2.10) і табл.6 Додатку А), для кремнію використовують спеціа-

льні таблиці (див. табл. 5 Додатку А).

Якщо кожен атом легуючої домішки дає один носій заряду у відповідну зону і всі домішкові атоми повністю йонізовані, то концентрація легуючої домішки буде визначати концентрацію носіїв заряду, а отже, і питомий опір напівпровідника. При введенні у стоп двох однотипних повністю йонізованих домішок, питомий опір напівпровідника визначатиметься їх сумарним вмістом:

, (3.2)

де С _тАi і С _тDi - концентрації відповідно акцепторних і донорних домішок у кристалі.

Якщо кристал легують одночасно донорними і акцепторними домішками, то концентрація носіїв заряду, що визначає питомий опір, носитиме різницевий характер: для напівпровідника n -типу n = C _тD- C _тA; для напівпровідника р -типу p = C _тA- C _тD. У цьому разі задають ступінь компенсації ε_n = C _тА / C _тD для напівпровідника n -типу електропровідності і ε_p = C _тD / C _тА для р -типу. Концентрацію донорів або акцепторів можна розрахувати за допомогою рівнянь

; . (3.3)

Взагалі необхідно враховувати наявність у вихідному полікристалічному матеріалі фонових або залишкових домішок. Їх концентрація задається, як правило, за допомогою частки або відсотку по масі y _i. За величиною y _i відповідно до (3.1) можна визначити концентрацію остаточних домішок С_i у стопі. Для розрахунку концентрації легуючої домішки необхідно скласти рівняння електронейтральності, яке можна записати для напівпровідника відповідно n -і р -типу:

 

n + C _тА+ Σ k _Aфон C_{A фон}= C _тD + Σ k _Dфон C _тDфон,

C _тА + Σ k _Aфон C _Aфон= р + C _тD + Σ k _Dфон C _тDфон, (3.4)

 

де k_iфон - ефективний коефіцієнт розподілу i-ї фонової домішки; С _тA, С _тD - концентрації легуючих відповідно акцепторних і донорних домішок в кристалі;

C_{A , D фон} - концентрації фонових відповідно акцепторних і донорних домішок у стопі до початку росту кристала.

Вирази (3.4а) і (3.4б) необхідно пояснити: оскільки у вихідному полікристалічному матеріалі містяться фонові домішки, то при його топленні вони потрапляють у рідку фазу (стоп), тому в твердій фазі (зростаючому монокристалі) їх концентрацію слід враховувати з використанням ефективного коефіцієнта розподілу.

У ході легування монокристалів леткими домішками їх концентрація зменшується внаслідок випаровування. Розрахуємо втрати леткої домішки на етапах, які передують вирощування монокристалу (топлення вихідного завантаження, прогрів і оплавлення затравки, вирощування шийки і т. д.). Рівняння матеріального балансу для взаємодії рідкої і газової фаз коли росту монокристалу немає запишемо так:

 

dQ dQ_газ = 0, (3.5)

 

де dQ, dQ_газ - зміна кількості легуючої домішки відповідно в рідкій і газовій фазах. Вважаючи, що за час dt зміна концентрації домішки в рідкій фазі складе dС, а початковий об’єм стопу V ₀ не зміниться, запишемо рівняння матеріального балансу:

 

V ₀ dC + a F (С – С _р) dt = 0, (3.6)

 

де a - лінійний коефіцієнт випаровування (коефіцієнт міжфазної взаємодії); F - площа поверхні випаровування; С – концентрація в даний момент часу t; Ср - рівноважна концентрація домішки у стопі. Враховуючи, що при t = 0 C = C₀, після розділення в рівнянні (3.6)

змінних та інтегрування отримаємо його розв’язок:

. (3.7)

 

Якщо процес вирощування відбувається у вакуумі або в атмосфері інертного газу, то С_р = 0, і вираз (3.7) набуває вигляду

. (3.8)

Вираз (3.8) показує зміну концентрації домішки С ₀ у вихідному завантаженні за час витримки t стопу до початку кристалізації, тобто кристал починає рости із стопу, концентрація леткої домішки в якому в разів менша за початкову концентрацію С₀.

Отже, якщо легуюча або залишкова домішки є леткими, то при розрахунку легування для отримання кристала із заданим значенням питомого опору необхідно в рівняннях електронейтральності (3.4а) і (3.4б) врахувати випаровування домішки із стопу у відповідності до (3.7) або (3.8) на початкових етапах вирощування монокристала.

Взаємозв'язок між концентрацією домішки і питомим опором суттєво ускладнюється, якщо домішки дають глибокі рівні, тобто рівень Фермі розташовується поблизу середини забороненої зони напівпровідників, а концентрація електронів чи дірок має значення, близьке до власної концентрації носіїв заряду. У цьому разі при розрахунку легування за значенням питомого опору визначають концентрацію носіїв заряду, знаходять положення рівня Фермі і ступінь йонізації домішок і, розв’язуючи рівняння електронейтральності, визначають повну концентрацію легуючої домішки.