Однородная система линейных уравнений.

Решение системы линейных однородных уравнений проводится по той же схеме, что и для неоднородных систем. Отличие только в записи общего решения, особенности его построения проследим непосредственно при решении приведенных ниже примеров.

☺ Пример 91. Исследовать совместность и найти обшее решение, одно частное решение системы уравнений и построить фундаментальную систему решений:

Решение: Выполняя стандартные операции по определению ранга матрицы А, получаем: ранг матрицы равен 2. В качестве базового минора удобно использовать минор 2-го порядка , включающий первые две строки и первые два столбца матрицы. Это значит, что для дальнейшего решения системы можно использовать только первые два уравнения, а в качестве свободных неизвестных объявить, x₃ и x₄ .

Перепишем систему уравнений:

определитель этой системы d = -1. Далее, по правилу Крамера получаем:

, ,

, .

Полученные выражения для x₁ и x₂ представляют общее решение заданной системы уравнений: принимая произвольные значения для x₃ и x₄ , будем получать бесчисленное количество частных решений.

Одно из частных решений получим, задавая значения x₃ и x₄ , выбирая строки определителя порядка (n-r):

,

где n – число неизвестных системы, r – ранг матрицы А системы.

Максимальная система независимых векторов-решений, т.е. фундаментальная система решений решаемой системы имеет вид:

Обозначение решения	x1	x2	x3	x4
α1 =		-6
α2 =	-7

 

Используя фундаментальную систему решений, общее решения рассматриваемой системы однородных уравнений можно (т.е. выражение для произвольного решения) записами в виде:

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: , ;

частное решение: x₁ = 8, x₂ = -6, x₃ = 1, x₄ = 0,

. общее решение: .

Пример 92. Исследовать совместность и найти обшее решение, одно частное решение системы уравнений и построить фундаментальную систему решений:

Решение: Выполняя стандартные операции по определению ранга матрицы А, получаем: ранг матрицы равен 2. В качестве базового минора удобно использовать минор 2-го порядка , включающий первые две строки и четвертый с пятым столбцы матрицы. Это значит, что для дальнейшего решения системы можно использовать только первые два уравнения, а в качестве свободных неизвестных объявить, x₁, x₂ и x₃.

Перепишем систему уравнений:

определитель этой системы d = -4. Далее, по правилу Крамера получаем:

, ,

, ,

Полученные выражения для x₄ и x₅ представляют общее решение заданной системы уравнений: принимая произвольные значения для x₁, x₂ и x₃ , будем получать бесчисленное количество частных решений.

Одно из частных решений получим, задавая значения x₁, x₂ и x₃ , выбирая строки определителя порядка (n-r):

,

где n – число неизвестных системы, r – ранг матрицы А системы.

Максимальная система независимых векторов-решений, т.е. фундаментальная система решений решаемой системы имеет вид:

Обозначение решения	x1	x2	x3	x4	x5
α1 =
α2 =
α3 =				-2

 

Используя фундаментальную систему решений, общее решения рассматриваемой системы однородных уравнений можно (т.е. выражение для произвольного решения) записами в виде:

,

где С₁, С₂ и С₃ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: , ;

частное решение: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = -2,, x₅ = 1

. общее решение: .

☻ Решите примеры:

Пример 93. Исследовать совместность и найти обшее решение, одно частное решение системы уравнений и построить фундаментальную систему решений:

Ответ: Общее решение: , ;

частное решение: x₁ = 8, x₂ = -6, x₃ = 1, x₄ = 0,

. общее решение: ,

где:

Обозначение решения	x1	x2	x3	x4
α1 =
α2 =				-7

 

 

Пример 94. Исследовать совместность и найти обшее решение, одно частное решение системы уравнений и построить фундаментальную систему решений:

Ответ: Общее решение: , ,.

частное решение: .

. общее решение: ,

где:

Обозначение решения	x1	x2	x3	x4	x5
α1 =
α2 =
α3 =

 

Вопросы для самопроверки:

1. Является ли линейным векторным простронством множество всех решений однородной системы линейных уравнений с обычными операциями сложения и умножения на число?

2. Какова размерность линейного пространства решений однородной системы 8 линейных уравнений с 12 неизвестными, если ранг матрицы системы равен 4?

3. Что называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений?

4. Как построить ФСР однородной системы линейных уравнений?

5. Сколько ФСР можно построить для заданной однородной системы линейных уравнений?