Вычисление ранга матрицы «методом элементарных преобразований».

Для вычисления ранга матрицы применяют также «метод элементарных преобразований». В этом случае не требуется вычислений многочисленных «окаймляющих миноров», что, как видно из приведенных примеров, весьма трудоемко.

При использовании метода элементарных преобразований применяют преобразования матрицы, которые не влияют на то будет или нет определитель равен нулю. Это значит, что цепочка элементарных преобразований не изменяет ранга матрицы (системы векторов). К элементарным относят преобразования:

• перемена мест (транспозиция) двух строк или двух столбцов;

• умножение строки (или столбца) на проивольное отличное от нуля число;

• прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Рассмотрим несколько примеров с применением «метод элементарных преобразований».

☺ Пример 83. Найти ранг матрицы: методом элементарных преобразований.

Решение: Выполним последовательность элементарных преобразований, приводящих матрицу к диагональной форме:

1-й шаг: переставляем в матрице 1С и 2С и затем умножаем 1R на ;

2-й шаг: 2R+1Rх4; 2R-1R; 3R-1Rх5; 4R-1Rх3;

 

3 -й шаг: 3С-2Сх3; 2Rх(-1); 3R-2Rх3; 4R-2Rх2; 3С+1Сх2:

		-4	1 шаг			-2	2 шаг			-2	3 шаг
-1	-4			-4	-1				-1	-3
			→				→
		-10				-10

 

Значит, ранг матрицы равен 2.

Ответ: Ранг матрицы равен 3.

Замечание: Как видим, метод особенно удобен в тех случаях, когда требуется только узнать ранг матрицы (системы векторов), но ставится цель определить, какие именно столбцы (строки) составляют максимальную линейно независимую подсистему.

☺ Пример 84. Найти ранг матрицы: методом элементарных преобразований.

Решение: Выполним последовательность элементарных преобразований, приводящих матрицу к диагональной форме:

1-й шаг: переставляем в матрице 1С и 2С и затем умножаем 1R на ;

2-й шаг: 2R+1Rх4; 2R-1R; 3R-1Rх5; 4R-1Rх3;

3 -й шаг: 3С-2Сх3; 2Rх(-1); 3R-2Rх3; 4R-2Rх2; 3С+1Сх2:

		-4	1 шаг			-2	2 шаг			-2	3 шаг
-1	-4			-4	-1				-1	-3
			→				→
		-10				-10

 

Значит, ранг матрицы равен 2.

Ответ: Ранг матрицы равен 3.

☻ Решите примеры:

Пример 85. Найти ранг матрицы: методом элементарных преобразо-ваний.

Ответ: Ранг матрицы равен 2.

Пример 86. Найти ранг матрицы: методом элементарных преобразо-ваний.

Ответ: Ранг матрицы равен 5.

Вопросы для самопроверки:

1. Возможно ли методом элементарных преобразований выделить в системе векторов максимальную линейно независимую подсистему векторов?

2. Почему элементарные преобразования матрицы не меняют ранга матрицы?

§ 6. Исследование системы линейных уравнений (общий случай)

Исследование системы линейных уравнений в общем случае проводится по единой схеме как для систем неоднородных уравнений, так и для систем однородных. Различие в том, что однородные системы всегда совместны (нулевое решение имеет любая однородная система уравнений) и в форме записи общего решения системы.