Определение деления
Разделить число a на число b - значит найти такое новое число, на которое надо умножить b, чтобы получить a.
Отсюда вытекает следующее определение действия: делением называется такое арифметическое действие, посредством которого по данному произведению двух чисел и одному из них (известному множителю) находят другое число (неизвестный множитель).
При делении данное произведение называется делимым, данный сомножитель - делителем, а искомый сомножитель - частным.
Отсюда ясно, что деление есть действие, обратное умножению.
Деление числа a на число b можно записать двумя способами:
1) 
или 2) 
, причем каждое из этих равенств означает, что при делении числа a на число b в частном получается натуральное число q.
Деление с остатком
При требовании, чтобы частное было целым числом, деление числа a на число b возможно не всегда.
Например, при нельзя разделить 23 на 4, потому что нет такого целого числа, на которое можно было бы умножить 4 и получить произведение, равное 23.
Но можно указать наибольшее целое число, при умножении которого на 4, получается целое число наиболее близкое к 23. Таким числом является 5. При умножении 5 на 4 получим 20.
Разность между делимым 23 и 20 равна 3 - называется остатком от деления.
Само же деление в таких случаях называется делением с остатком.
Случай, когда в частном получается целое число и никакого остатка не будет, называется делением без остатка или делением нацело, частное же называется полным частным или просто частным.
Если при делении числа a на число b получается неполное частное q и остаток r, то записывается это так.
, или 
.
При делении с остатком неполным частным называется наибольшее число, которое при умножении на делитель дает произведение, не превосходящее делимое. Разность между делимым и этим произведением называется остатком.
Отсюда следует, что остаток при делении должен быть всегда меньше делителя, так как если бы остаток был равен делителю или был бы больше его, то частное тогда не было бы наибольшим из возможных чисел. Если остаток вычесть из делимого, то полученная разность (a - r) разделится на данный делитель b без остатка, причем в частном по-прежнему получится число q.
По смыслу деления разность 
.
Отсюда: 
(по смыслу деления).
Последнее равенство показывает, что в случае деления с остатком делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.
Примечание. В дальнейшем, выражение: одно число делится на другое без остатка (нацело) - заменим выражением: одно число делится на другое.
Число a в этом случае называется кратным числу b.
