Чтобы данное число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Арифметика

Признаки делимости

Признаки делимости на 10, 5 и 2

 

Признак делимости на 10: "На 10 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0; если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то число не делится на 10".

Другими словами, на 10 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

Признак делимости на 5: "На 5 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5; если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то число не делится на 5".

Другими словами, на 5 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0 или цифрой 5.

Признак делимости на 2: "На 2 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой, т. е. на 0, 2, 4, 6, 8".

Другими словами, на 2 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой.

 

Признак делимости на 4 и на 25

 

На 4 (или на 25) делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 (или на 25).

 

Признак делимости на 8 и на 125

 

На 8 (или на 125) делятся те, и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8 (или на 125).

 

Признак делимости на 3 и на 9

 

На 3 (или на 9) делятся те, и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9).

Признак делимости на 7, 11 и 13

 

Если разность, полученная от вычитания числа, образованного тремя последними цифрами данного числа, из числа, образованного всеми остальными цифрами (или наоборот), равна 0 или делится на 7, или на 11, или на 13, то все данное число делится на 7, или на 11, или на 13.

Теорема о делимости данного числа на произведение двух взаимно простых чисел

Если данное число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение [1].

 

На основании этой теоремы можно установить признак делимости на число, которое может быть представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Чтобы данное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Чтобы данное число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

 

Аналогично можно установить признаки делимости на 18, на 22, на 24 и т. д.

 

Пример 1. Найдите все пятизначные числа вида , каждое из которых делится на 36.

 

Решение

 

36 можно представить в виде произведения двух множителей, признаки делимости, на каждый из которых известны. Так, . Значит, на 36 будут делиться те, и только те числа, которые одновременно делятся и на 9, и на 4.

Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда оно не делится на 9".

Признак делимости на 4: "На 4 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4".

 

Надо заметить, что значения цифр x и y могут быть следующие: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сумма цифр данного числа равна: 3 + 4 + x + 5 + y = 12 + x + y.

Данное число не может оканчиваться двумя нулями, поскольку предпоследняя цифра числа равна 5, значит, применим вторую часть признака делимости на 4: "... две последние цифры должны выражать число, делящееся на 4.

Две последние цифры данного числа образуют двузначное число: .

Оно делится на 4 только при двух значениях y: 2, 6.

При y = 2, сумма цифр числа станет равна: 12 + x + y = 12 + x + 2 = 14 + x.

Полученная сумма будет делится на 9 при одном значении x, равном 4 (тогда получим сумму 18). При всех других значениях x эта сумма не делится на 9.

Находим первое число, удовлетворяющее условию задачи: 34452.

В самом деле, сумма цифр этого числа равна 18 - делится на 9, последние две цифры образуют двузначное число 52, которое делится на 4, наконец, проверим делением. При делении числа 34452 на 36 получим 957.

 

При y = 6, сумма цифр числа станет равна: 12 + x + y = 12 + x + 6 = 18 + x.

Эта сумма делится на 9 при следующих значениях x: 0 и 9.

 

Находим еще два числа, удовлетворяющие условию задачи: 34056 и 34956.

Проверка. При делении 34056 на 36 получим 946, а при делении 34956 получим 971.

 

Ответ: 34452, 34056, 34956.

 

Пример 2. Найдите все пятизначные числа вида , каждое из которых делится на 45.

 

Решение

 

Чтобы число делилось на 45, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 9 и на 5.

Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда оно не делится на 9".

Признак делимости на 5: "На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются либо цифрой 0, либо цифрой 5".

Рассмотрим два случая

1-й случай, когда число оканчивается цифрой 0, тогда y = 0.

Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр, которая равна 7 + 1 + x + 1 + 0 =

= x + 9.

x может равняться либо 0, либо 9, чтобы полученная сумма делилась на 9.

В результате получаем два искомых числа: 71010 и 71910.

 

2-й случай, когда число оканчивается цифрой 5, тогда y = 5.

Сумма цифр числа, в этом случае, равна: 7 + 1 + x + 1 + 5 = x + 14.

Чтобы сумма делилась на 9, x = 4.

Получим еще одно искомое число: 71415.

Ответ: 71010, 71910, 71415.

 

Пример 3. Найдите все пятизначные числа вида , каждое из которых делится на 45.

 

Решение

 

Чтобы число делилось на 45, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 9 и на 5.

Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда оно не делится на 9".

Признак делимости на 5: "На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются либо цифрой 0, либо цифрой 5".

 

Рассмотрим два случая

1-й случай, когда число оканчивается цифрой 0, тогда y = 0.

Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр, которая равна 1 + 3 + 5 + x =

= x + 9.

x может равняться либо 0, либо 9, чтобы полученная сумма делилась на 9.

В результате получаем два искомых числа: 13500 и 13590.

 

2-й случай, когда число оканчивается цифрой 5, тогда y = 5.

 

Сумма цифр числа, в этом случае, равна: 1 + 3 + 5 + x + 5 = x + 14.

Чтобы сумма делилась на 9, x = 4.

 

Получим еще одно искомое число: 13545.

 

Ответ: 13500, 13590, 13545.

 

Пример 4. Найдите все пятизначные числа вида , каждое из которых делится на 6 и на 9.

 

Решение

 

На 6 будут делится все те числа, которые делятся на 3 и на 2.

 

Признак делимости на 3: "На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3".

 

Признак делимости на 2: "На 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой или нулем, т. е. на 0, 2, 4, 6, 8".

 

Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9".

 

Таким образом, если число делится на 9, тогда оно и подавно будет делится на 3.

Чтобы число делилось на 6 и на 9, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр делилась на 9 и оно оканчивалось четной цифрой.

 

Сумма цифр числа равна 5 + 1 + 7 + x + y = x + y + 13.

 

Рассмотрим несколько случаев:

1) если y = 0, тогда сумма цифр равна x + 13 и она будет делиться на 9, если x будет равен 5, искомое число: 51750;

2) если y = 2, тогда сумма цифр равна x + 15 и она будет делиться на 9, если x будет равен 3, искомое число: 51732;

3) если y = 4, тогда сумма цифр равна x + 17 и она будет делиться на 9, если x будет равен 1, искомое число: 51714;

4) если y = 6, тогда сумма цифр равна x + 19 и она будет делиться на 9, если x будет равен 8, искомое число: 51786;

5) если y = 8, тогда сумма цифр равна x + 21 и она будет делиться на 9, если x будет равен 6, искомое число: 51768.

 

Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.