Короткі теоретичні відомості. Перелік лабораторних робіт.

ЗМІСТ

Вступ......................................................................................................................

Перелік лабораторних робіт...................................................................

Лабораторна робота № 1. Формалізований опис структури системи та складання описових моделей........................................................................................

Лабораторна робота № 2. Системне комп'ютерне моделювання технологічних процесів........................................................................................................

Лабораторна робота № 3. Ідентифікація лінійного об’єкта керування інструментальними засобами System Identification Toolbox в пакеті Simulink

Лабораторна робота № 4. Виконання типової задачі ідентифікації засобами графічного інтерфейсу System Identification Toolbox................................

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5. Вибір альтернативи на основі методу рангу

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6. Вибір альтернативи на основі принципу Кондорсе......................................................................................................................

Список літератури

ВСТУП

Сучасний системний аналіз є прикладною наукою, направленою на з'ясування причин проблем, що виникли перед проектувальником і на розробку варіантів їх вирішення. У найбільш розвиненій формі системний аналіз включає і безпосереднє, практичне поліпшуюче втручання в проблемну ситуацію.

Особливості сучасного системного аналізу витікають з самої природи складних систем. Маючи в якості мети ліквідацію проблеми або, як мінімум, з'ясування її причин, системний аналіз використовує для цього широкий спектр засобів та можливостей різних наук і практичних сфер діяльності. Системний аналіз надає велике значення методологічним аспектам будь-якого системного дослідження. Прикладна спрямованість системного аналізу призводить до використання усіх сучасних засобів наукових досліджень – математики, обчислювальної техніки, моделювання, натурних спостережень і експериментів.

Призначення даної дисципліни навчитипринципів побудови систем керування складними об'єктами, ознайомитись з основними етапами та методами проектування комп’ютерних систем керування, вивчити сучасні методології системного аналізу і проектування.

На лабораторних роботах вивчаються методи дослідження та аналізу систем автоматичного керування з використанням прикладного програмного забезпечення.

Перелік лабораторних робіт

Лабораторна робота № 1

Тема. Формалізований опис структури системи та складання описових моделей

Мета: навчитись складати математичний опис системи на прикладі задачі оптимального використання ресурсів

Короткі теоретичні відомості

У загальному випадку задача оптимального розподілу ресурсів формулюється таким чином. Підприємство розпоряджається ресурсами різних типів. Серед таких ресурсів можуть бути матеріально-речові, енергетичні, трудові, технічні, фінансові та інші. Ресурси кожного типу можуть бути розділені на класи. Сировина - за видами сировини, трудові - за професіями і кваліфікації працівників, технічні - за технічними характеристиками, фінансові - за джерелами фінансування та т.п. Нехай в результаті такої класифікації, такого поділу вийшло m видів ресурсів.

Пронумеруємо всі види ресурсів числами від 1 до m, буквою i будемо позначати номер виду ресурсу. Таким чином, i задовольняє нерівності 1 < i < m. Зауважимо, що ресурси різних видів можуть вимірюватися в різних одиницях (тоннах, кубометрах, людино-годинах, грошових одиницях, штуках тощо.)

Протягом планового періоду підприємство володіє деякими доступними обсягами ресурсу кожного виду. Обсяг ресурсу i-го виду, виміряний в одиницях відповідних даному виду ресурсу, позначимо за допомогою b_i. Індекс i літери b вказує, що доступні обсяги ресурсів різних видів можуть бути різними.

З цих ресурсів підприємство здатне виготовляти різну продукцію. Позначимо буквою n загальне число видів продукції, які може випустити підприємство з наявних ресурсів. Пронумеруємо всі види продукції числами від 1 до n. Буквою j будемо позначати номер виду продукції, так що виконується нерівність 1 < j < n. Продукція, як і ресурси, може вимірюватися в різних одиницях.

Нехай c_j - ціна, за якою підприємство реалізує кожну одиницю продукції j-го виду. Індекс j букви c вказує, що ціна різних видів продукції може бути різною.

Виробництво продукції потребує витрат ресурсів. Обсяг витрат залежить від виду ресурсу, виду продукції та кількості одиниць продукції. Позначимо за допомогою a_ij норму витрат ресурсу i-го виду на виробництво продукції j-го виду. Іншими словами, a_ij - це кількість ресурсу i-го виду, що витрачається при виробництві одиниці продукції j-го виду.

Задача оптимального використання ресурсів, завдання виробничого планування, полягає в тому, щоб визначити, яку продукцію і в якому обсязі слід виготовити підприємству з наявних ресурсів з тим, щоб дохід від реалізації продукції був найбільшим.

Побудуємо математичну модель типової задачі. Спочатку введемо змінні. За допомогою x_j позначимо шуканий обсяг випуску продукції j-го виду. Математичну модель можна тепер записати в наступній формі:

, (1.1)

(1.2)

Розглянемо наступну задачу. Відомо, що цех підприємства повинен виготовити 100 виробів трьох типів. Кожного виробу необхідно виготовити не менше 20 штук. На вироби витрачається відповідно 4, 3,4 і 2 кг металу при його загальному запасі 340 кг, а також по 4,75, 11 і 2 кг пластмаси при її загальній кількості 700 кг. Скільки виробів кожного типу х1, х2, х3 необхідно виготовити для отримання максимального об’єму випуску у грошовому еквіваленті, якщо ціна виробів відповідно 4, 3 і 2 грошові одиниці?

Для цієї задачі математична модель матиме наступний вигляд:

Порядок виконання роботи

1. Побудувати математичні моделі оптимізаційних задач 1.1, 1.2, 2.1, 2.2.

2. Знайти розв’язок задач максимізації цільової функції 1.1, 1.2 у MathCad. Значення змінних задати самостійно.

Максимум функції трьох змінних знаходиться з використанням конструкції ключових слів «Given - Maxmize», між якими записуються задані обмеження та умови. За необхідності знаходження мінімуму функції використовується команда Minimize. Нижче наведено приклад розв’язку задачі у MathCad.

3. Знайти розв’язок задач лінійного програмування 2.1, 2.2 у MatLab. Значення змінних задати самостійно.

Функції MatLab, призначені для розв’язку задач мінімізації та оптимізації, входять до складу Optimization Toolbox.

Задача лінійного програмування полягає у знаходженні вектора х, який мінімізує лінійну цільову функцію , де f - вектор коефіцієнтів, та задовольняє заданим лінійним обмеженням виду:

У задачах оптимізації можуть бути задані не всі типи обмежень.

Для розв’язку задач лінійного програмування використовується функція linprog. Першим її аргументом завжди є вектор f, далі задаються матриця А і вектор b. При наявності обмежень у вигляді рівностей додатковими аргументами є матриця A_eqі вектор b_eq. В останню чергу задаються двосторонні обмеження - вектори lb і ub.

Синтаксис:

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

[x,fval] = linprog(...)

Розглянемо задачу про складання раціону харчування. Маємо три продукти П1, П2 і П3 різної вартості, кожен з яких містить визначену кількість поживних речовин Р1, Р2, Р3, Р4. Відомо, що на день необхідно Р1 не менше 250, Р2 - не менше 60, Р3 - не менше 100 і Р4 - не менше 220. Необхідно мінімізувати затрати на придбання продуктів. Очевидно, що кількість продуктів не може бути від’ємною. Дані по поживності та вартості наведені у табл. 1.1.

Таблиця 1.1 - Дані до задачі про складання раціону харчування

	П1	П2	П3
Р1
Р2
Р3
Р4
Ціна

Запишемо цільову функцію, матрицю А, вектори b і lb обмежень у відповідності з вимогами Toolbox, позначив шукану кількість продуктів через х₁, х₂ і х₃ відповідно. Оскільки лінійні обмеження містять знаки «≤», а кількість інгредієнтів у раціоні не повинно бути менше заданих величин, то слід змінити знаки обох частин системи.

, , .

Для розв’язку задачі необхідно створити m-скрипт або ввести послідовність команд у командному рядку:

>> f=[44; 33; 100];

>> A=[4 6 15

2 2 0

5 3 4

7 3 12];

>>A =-А;

>> b=[250; 60; 100; 220];

>>b =- b

>> lb=[0; 0: 0];

>> x=linprog(f, A, b, [ ], [ ], lb)

Optimization terminated.

x =

13.2143

16.7857

6.4286

Виклик функції linprog з двома вихідними аргументами дозволить отримати не лише вектор розв’язку, а й значення цільової функції, тобто мінімальну вартість раціону у даній задачі:

>> [x, fval]=linprog(f, A, b, [ ], [ ], lb, [ ]);

Optimization terminated.

fval =

1.8118е+003

Задачі

1. Задачі максимізації цільової функції.

1.1 Для виготовлення різних виробів А, В і С підприємство використовує три різних види сировини (I, II і III). Норми витрати сировини на виробництво одного виробу, ціна одного виробу А, В і С а також загальна кількість сировини кожного виду, яка може бути використана підприємством, наведені в табл. 1.2. Числові значення вибрати самостійно.

Таблиця 1.2 - Дані до задачі 1.1.

Вид сировини	Норми витрат сировини (кг) на один виріб	Загальна кількість сировини, кг
А	В	С
І	а₁₁	a₁₂	a₁₃	b₁
II	а₂₁	а₂₂	a₂₃	b₂
ІІІ	а₃₁	a₃₂	а₃₃	b₃
Ціна одного виробу, у.о.	с₁	с₂	с₃	-

Вироби А, В і С можуть вироблятись в будь-яких співвідношеннях, але виробництво обмежене виділеною підприємству сировиною кожного виду.

Скласти план виготовлення виробів, при якому загальна вартість всієї виробленої підприємством продукції є максимальною.

1.2 Підприємство після виконання основної виробничої програми має запаси зекономленої сировини трьох видів I, II і III у кількостях відповідно рівних b₁, b₂ і b₃ у.о. З цієї сировини підприємство може виготовляти два типи продукції Р₁ та Р₂. Кількість сировини, що йде на виготовлення продукції, наведена в табл. 1.3. Прибуток від реалізації одиниці продукції Р₁ та Р₂ складає відповідно с₁ та с₂ грн. Числові значення вибрати самостійно. Скласти такий план випуску продукції при якому прибуток підприємства був би максимальний.

Таблиця 1.3 - Дані до задачі 1.2

Вид сировини	Витрати сировини, (у.о.) на одиницю продукції
Р₁	Р₂
І	а₁₁	a₁₂
ІІ	а₂₁	а₂₂
III	а₃₁	a₃₂

2. Задачі лінійного програмування.

2.1 В арматурному цеху із стандартного сталевого листового прокату певного розміру необхідно вирізати заготовки трьох видів в кількостях відповідно рівних b₁, b₂ і b₃ шт. Кожен лист сталі може бути розрізаний на заготовки двома способами. Кількість заготовок, що можна отримати при даному способі різання, наведено в табл. 1.4. Числові значення вибрати самостійно. В ній також вказана кількість відходів, що отримується при даному способі різання одного листа.

Таблиця 1.4 - Дані до задачі 2.1

Вид заготовок	Кількість заготовок, (шт.) при розкрою за способом

І	а₁₁	a₁₂
ІІ	а₂₁	а₂₂
ІІІ	а₃₁	a₃₂
Кількість відходів різання, %	с₁	с₂

Визначити скільки листів сталі і за яким способом необхідно розрізати так, щоб було отримано не менше необхідної кількості заготовок при мінімальних відходах.

2.2 Три механізми (І, II, III) можуть виконувати три види земляних робіт об’ємами А, В, і С. Ресурси робочого часу кожного механізму та вартість 1 год. роботи механізму вказані в табл. 1.5. Числові значення вибрати самостійно.

Таблиця 1.5 - Дані до задачі 2.2

Механізми	Питома вартість роботи, у.о./год.	Ресурс часу, год.
А	В	С
І	а₁₁	a₁₂	a₁₃	b₁
ІІ	а₂₁	а₂₂	a₂₃	b₂
III	а₃₁	a₃₂	а₃₃	b₃

Знайти оптимальне завантаження обладнання, що мінімізує сумарні витрати при таких об'ємах робіт: А = 6000 м³, В = 50000м³; С = 8000м³.

Контрольні питання

1. Що таке структура системи?

2. Як класифікують структури систем за топологією внутрішніх зв’язків?

3. Як класифікують структури систем за способом управління?

4. Якими способами можна формалізувати структуру системи?

5. За якими ознаками класифікують моделі систем?

6. Які моделі називають описовими або дескриптивними?

Література: [1-4, 7].

Лабораторна робота № 2