Ортогональная система функций

Функция называется нормальной, если

.

Яндекс.Директ

Проф­подго­товка учителя мате­матики bakalavr-magistr.ruЗаочно! Профподготовка для учителя мате­матики 2017! Диплом. Выбирайте!Более 50 курсовВопросы и ответыСтоимостьДиплом Объявление скрыто.

Поможем с дипломной работой piterdiplom.ruПомощь в напи­сании дипломной работы от препо­дава­теля ВУЗа.Узнай подробнее!ПсихологияПравоЭкономикаМенеджментАдрес и телефон Объявление скрыто.

Помощь с дипломнойи ВКРprofistudent.ruПомощь в напи­сании дипломных работ. Антиплагиат от 80%! Доработки 0 руб. Объявление скрыто.

Две функции называются ортогональными (между собой), если . Система кусочно-непрерывных на отрезке функций

(1)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют положительную норму и попарно ортогональны.

Система (1) называется ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если

т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.

Любая конечная ортогональная система функций линейно независима в , т. е. из того, что

,

где - числа, следует, что все . В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на , то на основании линейных свойств скалярного произведения получим

,

и так как , то .

Если - произвольная функция, то число

называется коэффициентом Фурье функции относительно функции , ортогональной системы (1). Ряд

, (2)

порождаемый функцией , называется рядом Фурье функции по ортогональной системе (1).

Если система (1) ортонормальна, то и ряд Фурье функции записывается еще проще:

. (3)

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа . В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.

Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то для любой функции норма

среди всевозможных систем чисел достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами

,

т. е. для коэффициентов Фурье функции .

Таким образом,

, (4)

при этом

. (5)

Доказательство. Имеем

При этом очевидно, что последнее соотношение в этой цепи обращается в равенство только в единственном случае, когда при любом . Тем самым мы доказали соотношения (4) и (5).

Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть неотрицательное число, вытекает неравенство

,

верное при любом . Но тогда, если система (1) состоит из бесконечного числа функций , то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции сходится и справедливо неравенство

, (6)

называемое неравенством Бесселя.

Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (1) такова, что неравенство (6) обращается в равенство (равенство Парсеваля-Стеклова)

(7)

для всех функций .

Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию и составим для нее ее ряд Фурье

.

Сумма первых членов этого ряда

называется -й суммой Фурье функции по ортогональной системе (1).

Согласно формуле (5) отклонение от в смысле среднего квадратического (в смысле ) равно

. (8)

Если для функции выполняется равенство Парсеваля (7), то

, (9)

и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Парсеваля (7).

Существует следующая терминология. Ортогональная система (1) называется полной в , если ряд Фурьелюбой функции сходится в смысле среднего квадратического к , т. е. если имеет место свойство (9) для всех .

Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы ортонормированная система (1) была полной в , необходимо и достаточно, чтобы для любой функции выполнялось равенство Парсеваля (7).

Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8, что обозначает пространство функций , интегрируемых в лебеговом смысле на вместе со своими квадратами и что .

Рассмотрим ортонормированную на отрезке систему непрерывных функций

,

полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы знаем, что если , то для чисел

(10)

выполняется равенство Парсеваля

.

Это верно и для функций , только интегралы надо понимать в смысле Лебега.

Но имеет место и обратное утверждение: если числа таковы, что ряд

сходится, то в существует функция такая, что числа являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотношение (9).

А в такой функции может и не быть. В этом проявляется несовершенство пространства . В пространстве недостаточно количество функций, для того чтобы это обратное утверждение имело место.

25. Тригонометрической системой функций называется система функций

Это – периодические функции.

Докажем два свойства периодических функций.

1) Если функция имеет период , то функция имеет период .

Доказательство. .

2) Если функция имеет период , то .

Доказательство. =

(делаем замену переменных в последнем интеграле )

.

Доказанные свойства позволяют

1) рассматривать тригонометрическую систему функций на любом отрезке длиной (период равен , ), например на отрезке ,

2) при вычислениях интегралов от функций с периодом, кратным , проводить интегрирование по любому отрезку длиной .

 

Так как элементы тригонометрической системы функций представляют собой непрерывные функции, то они сами и их квадраты (как произведение непрерывных функций) интегрируемы на отрезке . Поэтому можно рассматривать пространство L² на отрезке и строить ряд Фурье.

Скалярное произведение функций введем так:

Для того, чтобы построить ряд Фурье по тригонометрической системе функций надо доказать, что эти функции попарно ортогональны на .

Теорема. Тригонометрическая система функцийсостоит из попарно ортогональных на отрезке функций.

Доказательство. . ,

,

 

Пусть .

Теорема доказана.

 

Вычислим скалярные квадраты элементов тригонометрической системы.

,

.

Составим ряд Фурье по тригонометрической системе функций

.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле .

, ,

.

 

Теперь необходимо сформулировать условия, при которых функция представляется рядом Фурье по тригонометрической системе функций.