Рассмотрим функцию 
. Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде 
, где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
КОШИ - АДАМАРА ТЕОРЕМА
пусть задан степенной ряд
Если 
то ряд (1) сходится только в точке z=a; если 
то ряд (1) абсолютно сходится в круге 
радиуса
и расходится вне этого круга при 
если 
то ряд (1) абсолютно сходится при всех 
Содержание К. - А. т. выражается, таким образом, формулой Коши - Адамара (2), к-рую при этом следует понимать в расширенном смысле, включая равенства 
Иначе говоря, содержание К.- А. т. состоит в том, что внутренность множества точек (абсолютной) сходимости ряда (1) есть круг 
радиуса (2). В случае действительного степенного ряда (1) формула (2) определяет радиус интервала сходимости 
В основном К.- А. т. была высказана О. Коши (A. Cauchy) в его лекциях [1], опубликованных в 1821, полную ясность в формулировку и доказательство внес Ж. Адамар [2]. Для степенных рядов
но n комплексным переменным 
обобщением формулы Коши - Адамара является следующее соотношение:
к-рому удовлетворяют сопряженные радиусы сходимости r1..., rn ряда (3) (см. Круг сходимости). Записав соотношение (4) в виде 
получают уравнение, определяющее границу нек-рой логарифмически выпуклой кратно круговой области с центром а, к-рая и является внутренностью множества точек абсолютной сходимости ряда (3) при n>1.
Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию 
, определенную в интервале сходимости, т. е.
.
Приведем несколько свойств функции.
Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке 
, принадлежащем интервалу сходимости.
Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале, и ее производная 
может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех 
.
Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех.
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток.
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал.
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
.
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости 
: 
, который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом.
