Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а0 и знаменателем прогрессии, равным q.
Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:
В этом случае говорят о бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Остаток числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов называется n-м остатком ряда. Обозначение:
Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:
1. Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.
2. Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.
3. Если ряд сходится, то
Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).
Гармонический ряд.
Гармонический ряд – числовой ряд
.
Члены этого ряда обратны соответствующим натуральным числам.
Как установил в 1673 г. Г. Лейбниц, этот ряд расходится, т.е. частичные суммы ряда, 
, неограниченно растут при неограниченном росте количества n членов сумм. Гармонический ряд обычно приводят как пример того, что стремление к нулю n -го члена ряда при неограниченном росте его номера еще не обеспечивает его сходимость, это лишь необходимый, а не достаточный признак сходимости.
Свое название гармонический ряд, возможно, получил из-за такого очевидного свойства: каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух своих соседей – предыдущего и последующего членов.
Среднее гармоническое n положительных чисел, a 1, a 2, …, a n равно 
(здесь n ≥ 2).
Основные свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости рядов с положительными членами.
(29. 2.) Запишем три свойства, определяющие сходимости числовых рядов, первое из которых связано с отбрасыванием конечного числа членов.
1?. Сходимость ч.р. не зависит от отбрасывания конечного числа членов.
Разберем 
и 
. Предположим, что 
, в этом случае
(29.1)
При наличии конечного предела справа в (29.1) можно заключить, что существует и предел слева, и ряд предполагает сходимость.
2?. При условии, что ряд сходится и его сумма составляет 
можно заключить, что ряд 
, сходится и имеет сумму 
.
Допустим, что 
, таким образом
3. При условии, что 
сходятся и имеют суммы 
, соответствено, можно заключить, что 
сходится и имеет сумму 
Предположим, что 
в этом случае
Признаки сравнения рядов.
Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами
причём члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго, т.е.
(18)
Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда – расходимость второго.
Замечание. Условие (18) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами. Достаточно, чтобы оно выполнялось начиная с некоторого номера kили чтобы имели место неравенства
где m – некоторое целое число.
